Question

如圖（1），E是正方形ABCD的邊BC上的一個(gè)點(diǎn)（E與B、C兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn)E作射線EP⊥AE，在射線EP上截取線段EF，使得EF=AE；過點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：FG=BE；
（2）連接CF，如圖（2），求證：CF平分∠DCG；
（3）當(dāng)

BE

BC

=

3

4

時(shí)，求sin∠CFE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性質(zhì)得到BE=CG，根據(jù)FG=BE，等量代價(jià)得到FG=CG，即三角形FCG為等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得證；
（3）如圖，作CH⊥EF于H，則△EHC∽△EGF，利用相似得比例，根據(jù)BE與BC的比值，設(shè)出BE，EC，以及EG，F(xiàn)G，利用勾股定理表示出EF，CF，進(jìn)而表示出HC，在直角三角形HC中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出sin∠CFE的值．

解答：（1）證明：∵EP⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE與△EGF中，

∠ABE=∠EGF ∠BAE=∠GEF AE=EF

，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG=BE；

（2）證明：由（1）知：BC=AB=EG，
∴BC-EC=EG-EC，
∴BE=CG，
又∵FG=BE，
∴FG=CG，
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°=

1

2

∠DCG，
∴CF平分∠DCG；

（3）解：如圖，作CH⊥EF于H，
∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，
∴△EHC∽△EGF，
∴

HC

GF

=

EC

EF

，
根據(jù)

BE

BC

=

3

4

，設(shè)BE=3a，則EC=a，EG=4a，F(xiàn)G=CG=3a，
∴EF=5a，CF=3

2

a，
∴

HC

3a

=

a

5a

，HC=

3

5

a，
∴sin∠CFE=

HC

CF

=

2

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．