Question

19．如圖，一次函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x+2的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第二象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）過B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于直線y=$\frac{2}{3}$x+2，令x=0求出y的值，確定出B坐標(biāo)，得到OB的長(zhǎng)，令y=0，求出x的值，確定出A點(diǎn)的坐標(biāo)，求出OA的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)；
（2）過C作CM垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM與三角形BAO全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的長(zhǎng)，即可確定出C坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得過B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=$\frac{2}{3}$x+2，令x=0，得到y(tǒng)=2，即B（0，2），OB=2，
令y=0，得到x=-3，即A（-3，0），OA=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
（2）過C作CM⊥x軸，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC為等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠BOA=90°}\\{∠ACM=∠BAO}\\{AC=BA}\end{array}\right.$，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C（-5，3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴過B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=-$\frac{1}{5}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．