Question

如圖，在△ABC中，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．
（1）求證：

AH

AD

=

EF

BC

；
（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出y=4-

4

5

x，求出矩形的面積，求出二次函數(shù)的最值即可．

解答：（1）證明：∵四邊EFPQ是矩形，
∴EQ=HD=FP，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AH

AD

=

EF

BC

（相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比）；

（2）解：設(shè)矩形EFPQ的另一邊長為y，則HD=y，
由（1）得

4-y

4

=

x

5

，
解之得：y=4-

4x

5

于是矩形EFPQ的面積為：
S=xy
=x(4-

4x

5

)
=-

4

5

x2+4x
=-

4

5

(x2-5x)
=-

4

5

(x2-5x+

25

4

)+5
=-

4

5

(x-

5

2

)2+5，
故當(dāng)x=

5

2

時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大值是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)邊相等且平行，相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，題目是一道中等題，難度適中．