Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），C（3，5）．
（1）求過(guò)點(diǎn)A，C的直線解析式和過(guò)點(diǎn)A，B，C的拋物線的解析式；
（2）求過(guò)點(diǎn)A，B及拋物線的頂點(diǎn)D的⊙P的圓心P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使AQ與⊙P相切，若存在請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂），代入即可得出拋物線的解析式，再設(shè)出直線AC的解析式，利用待定系數(shù)法即可得出答案；
（2）先求得拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（0，P_y），根據(jù)A，B，D三點(diǎn)在⊙P上，得PB=PD，列出關(guān)于P_y的方程，求解即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)拋物線上存在這樣的點(diǎn)Q使直線AQ與⊙P相切，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-4），根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（-2，0），B（2，0）；
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）（x+2）…①，
把C（3，5）代入①得a=1；
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-4；
設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b（k≠0）…②
把A（-2，0），C（3，5）代入②得$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=0\\ 3k+b=5\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=2\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=x+2；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，P_y），
由（1）知D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）；
∵A，B，D三點(diǎn)在⊙P上；
∴PB=PD；
∴2²+P_y²=（-4-P_y）²，
解得：P_^y=-$\frac{3}{2}$；
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$）；
（3）在拋物線上存在這樣的點(diǎn)Q使直線AQ與⊙P相切．
理由如下：設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-4）；
根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式得：AQ²=（m+2）²+（m²-4）²，PQ²=m²+（m²-4+$\frac{3}{2}$）²；
∵AP=$\frac{5}{2}$，
∴AP²=$\frac{25}{4}$；
∵直線AQ是⊙P的切線，
∴AP⊥AQ；
∴PQ²=AP²+AQ²，
即：m²+（m²-4+$\frac{3}{2}$）²=$\frac{25}{4}$+[（m+2）²+（m²-4）²]
解得：m₁=$\frac{10}{3}$，m₂=-2（與A點(diǎn)重合，舍去）
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，$\frac{64}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)還有利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，一元二次方程，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，但難度不大，要熟練掌握解題思路和方法．