Question

【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)___________，

(2)求拋物線(xiàn)的解析式；

(3)設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：

Answer 1

【答案】（1）

（2）；

（3）存在，或（2.3）

【解析】

（1）求出拋物線(xiàn)的解析式后，利用因式分解化成完全平方的形式，即可求出

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定，可得三角形三邊的關(guān)系，分類(lèi)討論：PD=CD，根據(jù)勾股定理，可得x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；PD=CD時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得答案．

（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(1,0)、B(3,0) 、C(0,3)，
∴設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，
根據(jù)題意，得

，
解得，

∴拋物線(xiàn)的解析式為；

∴可以化為：

∴該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)
（2）由（1）可知，拋物線(xiàn)解析式為：

（3）存在， 由（1）可知，對(duì)稱(chēng)軸為 所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
當(dāng)是等腰三角形時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)以CD為底邊時(shí)，如圖2，PD=PC，
設(shè)P（x，y），根據(jù)勾股定理，
則有：，
解得：，
∵P在拋物線(xiàn)上，
∴，

∴

∴
∴ ，

即：，（不合題意，舍去），
∴，
∴，

②當(dāng)DC為腰時(shí)，如圖3，則P、C關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，
∴P（2，3），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（2，3）．