Question

15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），過D作DE⊥AB，垂足為E，連接AD，將△DEB沿直線DE翻折得到△DEF，點(diǎn)B落在射線BA上的F處．
（1）求證：△DEB∽△ACB；
（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖①），求線段BD的長；
（3）設(shè)BD=x，AF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并判斷是否存在這樣的點(diǎn)D，使AF=FD？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠DEB=90°，證明∠ACB=∠DEB，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入計(jì)算即可；
（3）分點(diǎn)F在線段AB上和點(diǎn)F在線段BA的延長線上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ACB=∠DEB，又∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB；
（2）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵△DEB∽△ACB，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{BD}{10}$=$\frac{5}{8}$，
解得BD=$\frac{25}{4}$．
答：線段BD的長為$\frac{25}{4}$；
（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，如圖2，
∵△DEB∽△ACB，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{BE}{8}$，
解得BE=$\frac{4}{5}$x，
∵BE=EF，
∴AF=AB-2BE，
∴y=-$\frac{8}{5}$x+10；
當(dāng)點(diǎn)F在線段BA的延長線上時(shí)，如圖3，
AF=2BE-AB，
∴y=$\frac{8}{5}$x-10，
當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，
∵DE⊥AB，BE=EF，
∴DF=DB
要使AF=FD，只要AF=BD即可，即x=-$\frac{8}{5}$x+10，
解得x=$\frac{50}{13}$，
當(dāng)點(diǎn)F在線段BA的延長線上時(shí)，AF=FD不成立，
則當(dāng)BD=$\frac{50}{13}$時(shí)，AF=FD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．