Question

3．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，ED與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：ED為⊙O的切線．
（2）當(dāng)BF=$\frac{1}{2}$AB，且CE=$\sqrt{3}$時(shí)，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠C，∠ODB=∠OBD，等量代換得到∠C=∠ODB，根據(jù)平行線的判定定理得到OD∥AC，證得DE⊥OD，根據(jù)切線的判定即可得到結(jié)論；
（2）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到AD⊥BC，根據(jù)已知條件得到BF=OB=OD=$\frac{1}{2}$OF，解直角三角形得到∠F=30°，求得∠DOF=60°，證得OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAB=∠DOB=60°，推出△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠C=60°，求得CD=2CE=2$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴ED為⊙O的切線．

（2）解：連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，BC=2CD，
∵BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=OB=OD=$\frac{1}{2}$OF，
∴∠F=30°，
∵∠DOF=60°，
∵OD⊥EF，AE⊥EF，
∴OD∥AE，
∴∠CAB=∠DOB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠C=60°，
∵CE=$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=2$\sqrt{3}$，
∴AB=BC=4$\sqrt{3}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴AF=AB+BF=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．