Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），作直線BC．動(dòng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段MN的最大值；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)線段MN最大值為；(3)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)m的值為或．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）（0≤m≤3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），由此即可得出MN＝﹣m2+3m，利用配方法即可求出線段MN的最大值；

（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出MN＝OC，分m＜0或m＞3以及0≤m≤3兩種情況，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

(1)將A(﹣1，0)、C(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c中，

，解得：,

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

(2)當(dāng)y＝﹣x2+2x+3＝0時(shí)，x1＝﹣1，x2＝3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b(k≠0)，

將B(3，0)、C(0，3)代入y＝kx+b中，

,，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)(0≤m≤3)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，﹣m2+2m+3)，

點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，﹣m+3)，

∴MN＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m＝﹣(m﹣)2+，

∴當(dāng)m＝，線段MN取最大值，最大值為．

(3)∵MN∥CO，

∴當(dāng)MN＝CO時(shí)，以點(diǎn)C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

∵點(diǎn)O(0，0)、C(0，3)，

∴OC＝3，

∴|﹣m2+3m|＝3，

當(dāng)m＜0或m＞3時(shí)，有m2﹣3m＝3，

解得：m1＝，m2＝；

當(dāng)0≤m≤3時(shí)，有﹣m2+3m＝3，

∵△＝(﹣3)2﹣4×1×3＝﹣3＜0，

∴此時(shí)方程無解．

綜上所述：存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)m的值為或．