Question

18．如圖，拋物線y=-x²-2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M（m，0）為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，可得矩形PQNM．如圖，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長；
（3）當(dāng)矩形PQNM的周長最大時(shí)，m的值是多少？并求出此時(shí)的△AEM的面積；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時(shí)，連接DQ，過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG=2$\sqrt{2}$DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）先確定出拋物線對(duì)稱軸，用m表示出PM，MN即可；
（3）由（2）得到的結(jié)論判斷出矩形周長最大時(shí)，確定出m，進(jìn)而求出直線AC解析式，即可；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上，判斷出N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，求出DQ=DC=$\sqrt{2}$，再建立方程（n+3）-（-n²-2n+3）=4即可．

解答 解：
（1）由拋物線y=-x²-2x+3可知，C（0，3）．
令y=0，則0=-x²-2x+3，
解得，x=-3或x=l，
∴A（-3，0），B（1，0）．
（2）由拋物線y=-x²-2x+3可知，對(duì)稱軸為x=-1．
∵M(jìn)（m，0），
∴PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（-m²-2m+3-2m-2）×2=-2m²-8m+2．
（3）∵-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴矩形的周長最大時(shí)，m=-2．
∵A（-3，0），C（0，3），
設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得k=l，b=3，
∴解析式y(tǒng)=x+3，
令x=-2，則y=1，
∴E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=$\frac{1}{2}$AM×EM=$\frac{1}{2}$．
（4）∵M(jìn)（-2，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=-l，
∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x²-2x+3，解得y=4，
∴D（-1，4），
∴DQ=DC=$\sqrt{2}$．
∵FG=2$\sqrt{2}$DQ，
∴FG=4．
設(shè)F（n，-n²-2n+3），則G（n，n+3），
∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方且FG=4，
∴（n+3）-（-n²-2n+3）=4．
解得n=-4或n=1，
∴F（-4，-5）或（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)極值的確定，解本題的關(guān)鍵是用m表示出矩形PMNQ的周長．