Question

8．如圖所示，將兩個正方形ABCD和正方形CGEF如圖所示放置，連接DE、BG．
（1）圖中∠DCE+∠BCG=180°；
（2）設(shè)△DCE的面積為s₁，△BCG的面積為s₂，則s₁與s₂的數(shù)量關(guān)系為S₁=S₂；
猜想論證：
如圖2所示，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形FECG，連接DE、BG，設(shè)△DCE的面積為s₁，△BCG的面積為s₂，猜想s₁和s₂的數(shù)量關(guān)系，并加以證明？
如圖3所示，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=30°，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，過點A作AD平行CE交BC于點D，在線段CE上存在點△P，使△ABP的面積等于△ACD的面積，請寫出CP的長？

Answer 1

分析 （1）結(jié)論∠BCG+∠DCE=180根據(jù)周角的定義即可證明．
（2）過點E作EM⊥DC于M點，過點G作GN⊥BC交BC的延長線于N點，先證明△CME≌△CNG求得EM=GN，然后根據(jù)三角形的面積公式即可證得；
猜想論證：①過點E作EM⊥DC于M，過點B作BN⊥GC交GC的延長線于點N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CE=CB，CG=CD，進而得出∠1=∠3，從而得出△CME≌△CNB，通過全等得出EM=BN，然后根據(jù)三角形的面積公式即可證得；
②先根據(jù)AD∥CE得出∠DAC=∠ACE=30°，進而得出∠BAD=90°，DM=$\frac{1}{2}$AD，BN⊥EC，然后通過解直角三角函數(shù)求得AD，從而得出DM，最后根據(jù)三角形面積公式和已知條件得出PN=DM，即可求得CP的長；

解答 （1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD、EFGC都是正方形，
∴∠BCD=∠ECG=90°，
∵∠BCG+∠BCD+∠DCE+∠ECG=360°，
∴∠BCG+∠ECD=180°，
故答案為180°
（2）證明：如圖1，過點E作EM⊥DC于M點，過點G作GN⊥BC交BC的延長線于N點，
∴∠EMC=∠N=90°，
∵四邊形ABCD和四邊形ECGF為正方形，
∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°，CB=CD，CE=CG，
∴∠1=90°-∠2，∠3=90°-∠2，
∴∠1=∠3．
在△CME和△CNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMC=∠GNC}\\{∠1=∠3}\\{EC=CG}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△CNG（ASA）．
∴EM=GN．
又∵S₁=$\frac{1}{2}$CD•EM，S₂=$\frac{1}{2}$CB•GN，
∴S₁=S₂；
故答案為S₁=S₂．

猜想論證：①猜想：S₁=S₂，
證明：如圖2，過點E作EM⊥DC于M，過點B作BN⊥GC交GC的延長線于點N，
∴∠EMC=∠N=90°，
∵矩形CGFE由矩形ABCD旋轉(zhuǎn)得到的，
∴CE=CB，CG=CD，
∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°，
∴∠1=90°-∠2，∠3=90°-∠2，∴∠1=∠3．
在△CME和△CNB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMC=∠BNC}\\{∠1=∠3}\\{EC=CG}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△CNB（ASA）．
∴EM=BN．   
又∵S₁=$\frac{1}{2}$CD•EM，S₂=$\frac{1}{2}$CG•BN，
∴S₁=S₂； 


②CP=$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$cm或$\frac{20}{3}$$\sqrt{3}$ cm．
理由：如圖3，作DM⊥AC于M，延長BA，交EC于N，
∵AB=AC=10cm，∠B=30°，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠BAC=120°，
根據(jù)對折的性質(zhì)，∠ACE=∠ACB=30°，
∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ACE=30°，
∴∠BAD=90°，DM=$\frac{1}{2}$AD，
∴BN⊥EC，
∵AD=tan∠ABD•AB，AB=10cm，
∴AD=tan30°×10=$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$，
∴DM=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PN，S_△ADC=$\frac{1}{2}$AC•DM，S_△ABP=S_△ADC，AB=AC，
∴PN=DM=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
在RT△ANC中∠ACN=30°，AC=10cm，
∴NC=cos∠ACN•AC=cos30°×10=5 $\sqrt{3}$，
∵在EC上到N的距離等于 $\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$的點有兩個，
∴P′C=$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$cm，P^″C=$\frac{20}{3}$$\sqrt{3}$cm，
∴CP的長為：$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$cm或 $\frac{20}{3}$$\sqrt{3}$cm．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角函數(shù)的應(yīng)用等，找出兩個三角形的高的關(guān)系是本題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．