Question

將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜60°）得到線段AC，連接BC得△ABC，又將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD（如圖①）．
（1）求∠ABD的大小（結(jié)果用含α的式子表示）；
（2）又將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BE，連接CE（如圖②）求∠BCE；
（3）連接DC、DE，試探究當(dāng)α為何值時(shí)，∠DEC=45°．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由于線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜60°）得到線段AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC=∠ACB=90°-

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2

α，再由線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC-∠CBD進(jìn)行計(jì)算；
（2）由線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AE，∠BAE=60°，則AC=AE，∠CAE=60°-α，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠ACE=∠AEC=60°+

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α，然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE計(jì)算得到∠BCE=150°；
（3）由線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC=BD，∠CBD=60°，則可判斷△BCD為等腰直角三角形，則∠BCD=60°，CD=BC，
所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC為等腰直角三角形，則CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”證明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以α=

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∠BAE=30°．

解答：解：（1）∵線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜60°）得到線段AC，
∴AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=

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2

（180°-α）=90°-

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α，
∵線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，
∴∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=90°-

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α-60°=30°-

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2

α（0°＜α＜60°）；
（2）∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BE，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴AC=AE，∠CAE=60°-α，
∴∠ACE=∠AEC=

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2

（180°-60°+α）=60°+

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α，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°-

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2

α+60°+

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α=150°；
（3）如圖②，
∵線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BD，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴△BCD為等邊三角形，
∴∠BCD=60°，CD=BC，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC為等腰直角三角形，
∴CE=CD，
∴CB=CE，
在△ABC和△AEC中

AB=AE AC=AC CB=CE

，
∴△ABC≌△AEC（SSS），
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠BAC=

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∠BAE=30°，
即α=30°，
當(dāng)α為30°時(shí)，∠DEC=45°．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．