Question

【題目】如圖所示，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)N是軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作軸的垂線，交拋物線與點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)H．

①點(diǎn)D在線段OC上，連結(jié)AD、BD，當(dāng)時(shí)，求的最小值；

②當(dāng)時(shí)，將直線AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使直線AD與軸交于點(diǎn)P，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）①的最小值為4；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）先根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可得；

（2）①先根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可得AB的長，再根據(jù)等量代換、兩點(diǎn)之間線段最短即可得出答案；

②如圖（見解析），分兩種情況討論：先根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)得出DE、AE、OA的長，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得出OP的長，從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）對于，令得，令得，解得

∴

把點(diǎn)代入得

解得

則拋物線的解析式為；

（2）①令

解得

∴

∵

∴

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，的最小值為AB

即的最小值為4；

②由題意，分以下兩種情況：

如圖1，當(dāng)直線AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，

∵

∴

為等腰直角三角形

∴

作，則為等腰直角三角形

∵

∴

在中，

∴

在和中，

∴

，即

解得

如圖2，當(dāng)直線AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，

∵

∴

作

在和中，

∴

，即

解得

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．