Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為，將拋物線沿軸翻折得到拋物線，拋物線、的頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)；

①請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線的解析式；

②當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)．

①為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求的值；

②以為邊向左作正方形，設(shè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)稱為“夢(mèng)想點(diǎn)”，當(dāng)正方形的內(nèi)部（不包括邊上）有6個(gè)“夢(mèng)想點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②，2；（2）①，，；②＜m≤

【解析】

（1）①將拋物線對(duì)折，即將原來(lái)拋物線的x變?yōu)椋?/span>x，代入可得；

②只需點(diǎn)A到直線PQ的距離的3倍與點(diǎn)B到直線PQ的距離相等即可；

（2）①存在3種情況，一種是PM=MQ，第二種是PM=PQ，第三種是PQ=QM，分別按照等腰直角三角形的性質(zhì)可求得；

②正方形的邊長(zhǎng)為8m，根據(jù)“夢(mèng)想點(diǎn)”的定義，可得邊長(zhǎng)取值范圍為：2＜8m≤3．

（1）①∵拋物線的解析式為，將拋物線沿軸翻折得到拋物線

∴將中的x變?yōu)椋?/span>x代入，求得的即為的解析式

即：

化簡(jiǎn)得；，將m=1代入得：

②∵m=1

∴：，：

∴A(1，1)，B(－1，1)，P的橫坐標(biāo)為n

∴AP的距離=，BP的距離=n－1

∵

∴n－1=3

解得：n=或n=2

（2）①情況一：PM=MQ，圖形如下，過(guò)點(diǎn)M作PQ的垂線，交PQ于點(diǎn)N

由題意得：P(2，－4+4m)，Q(2，－4－4m)

∴PQ=

∵△MPQ是等腰直角三角形，MP=MQ

∴∠MPN=45°，∴△MPN是等腰直角三角形，MN=NP

設(shè)點(diǎn)M(x,)

∵MN是PQ的垂直平分線，∴點(diǎn)N、M的縱坐標(biāo)為：，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：2

∴－4=

∵MN=NP，∴2－x=，化簡(jiǎn)得：x=2－4m，代入上式并化簡(jiǎn)得：

8

解得：m=0(舍)，或m=

情況二：PM=PQ，圖形如下

∵PM=PQ，∴2－x=8m，化簡(jiǎn)得：x=2－8m

∵△MPQ是等腰直角三角形，∠MPQ=90°

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即

將x=2－8m代入上式并化簡(jiǎn)得：

解得：m=0(舍)，或m=

情況三：QM=PQ，圖形如下

∵MQ=PQ，∴2－x=8m，化簡(jiǎn)得：x=2－8m

∵△MPQ是等腰直角三角形，∠MQP=90°

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相等，即

將x=2－8m代入上式并化簡(jiǎn)得：

解得：m=0(舍)，或m=

②∵PQ=8m，四邊形PQDE是正方形，∴正方形的邊長(zhǎng)為8m

根據(jù)夢(mèng)想點(diǎn)定義，見(jiàn)下面2個(gè)圖形

如圖1：

當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)剛好比2大一點(diǎn)點(diǎn)的時(shí)候，正方形內(nèi)包含的夢(mèng)想點(diǎn)為6個(gè)

∴8m＞2，解得：m＞

如圖2：

當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為3時(shí)，剛好有4個(gè)夢(mèng)想點(diǎn)，邊長(zhǎng)在增加一點(diǎn)，則會(huì)有9個(gè)夢(mèng)想點(diǎn)

∴8m≤3，解得：m≤

∴＜m≤