【題目】已知拋物線y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B(0,3).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)D,使得點(diǎn)D到點(diǎn)B、C的距離之和最小,并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)解:;
(3)在第一象限的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使得△ABP的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B(0,3),

,解得a=﹣1,c=3,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3.


(2)

對(duì)稱軸為x= =1,

令y=﹣x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=﹣1,∴C(﹣1,0).

如圖1所示,連接AB,與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)即為所求之D點(diǎn),由于A、C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,則此時(shí)DB+DC=DB+DA=AB最。

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,由A(3,0)、B(0,3)可得:

,解得k=﹣1,b=3,

∴直線AB解析式為y=﹣x+3.

當(dāng)x=1時(shí),y=2,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2).


(3)

解:結(jié)論:存在.

如圖2所示,

設(shè)P(x,y)是第一象限的拋物線上一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y,AN=OA﹣ON=3﹣x.

SABP=S梯形PNOB+SPNA﹣SAOB

= (OB+PN)ON+ PNAN﹣ OAOB

= (3+y)x+ y(3﹣x)﹣ ×3×3

= (x+y)﹣

∵P(x,y)在拋物線上,∴y=﹣x2+2x+3,代入上式得:

SABP= (x+y)﹣ =﹣ (x2﹣3x)=﹣ (x﹣ 2+

∴當(dāng)x= 時(shí),SABP取得最大值.

當(dāng)x= 時(shí),y=﹣x2+2x+3= ,∴P( , ).

所以,在第一象限的拋物線上,存在一點(diǎn)P,使得△ABP的面積最大;P點(diǎn)的坐標(biāo)為( , ).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)連接AB,與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)即為所求之D點(diǎn).為求D點(diǎn)坐標(biāo),需先求出直線AB的解析式,然后令x=1求得y,即可求出D點(diǎn)坐標(biāo);(3)本問(wèn)關(guān)鍵是求出△ABP的面積表達(dá)式.這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求極值的方法可以確定P點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是

(3)ABC的面積為

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(2)在(1)的條件下,莉莉購(gòu)買多少個(gè)筆記本時(shí),到乙文具店購(gòu)買全部筆記本所需的費(fèi)用與到甲文具店購(gòu)買全部筆記本所需的費(fèi)用相同?

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