Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）．若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，則記為y_A；若經(jīng)過點(diǎn)A、B，則記為y_AB；若經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，則記為y_ABC．
（1）已知A（2，1）、B（2，4），請說明經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線不存在，即y_AB不存在．
（2）已知A（1，1）、B（2，2）、C（3，3），是否存在同時經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線，即y_ABC是否存在？寫出你的結(jié)論，并說明理由．
（3）如圖，Rt△OAB中，已知A（8，0）、B（0，6），D、E和F分別是△OAB各邊的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)O、A、B、D、E和F中的三點(diǎn)，一共能確定多少條不同的拋物線？請用題中的記法分別表示出來，并求出其中開口向下的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A，B的坐標(biāo)的拋物線的解析式可得方程組無解則y_AB不存在．
（2）不存在同時經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線，把A（1，1）、B（2，2）、C（3，3）三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+c中，通過解方程組可知：a=0，顯然與a≠0不相符，故y_ABC不存在．
（3）顯然拋物線不能同時經(jīng)過共線的三點(diǎn)及同在y軸或與y軸平行的兩點(diǎn)，故經(jīng)過經(jīng)過點(diǎn)O、A、B、D、E和F中的三點(diǎn)的拋物線共有4條，設(shè)拋物線y_DFA的解析式為y=ax²+bx+c，則據(jù)條件可得到a，b，c的值，求出拋物線的解析式，再用配方法即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把x=2，y=1及x=2，y=4分別代入y=ax²+bx+c中，
得

4a+2b+c=1 4a+2b+c=4

，此方程組無解，
說明經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線不存在，即y_AB不存在．

（2）不存在同時經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線．理由如下：
同樣，把A（1，1）、B（2，2）、C（3，3）三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+c中，
得

a+b+c① 4a+2b+c② 9a+3b+c③

，
②-①得，3a+b…④；
③-②得，5a+b…⑤．
∴⑤-④得，a=0，顯然與a≠0不相符，
故y_ABC不存在．

（3）∵A（8，0）、B（0，6），
∴OA=8，OB=6．
連接DF、EF，
∵D、E和F分別是△OAB各邊的中點(diǎn)，
∴DF=

1

2

OA=4，EF=

1

2

OB=3．
即D（0，3）、E（4，0）、F（4，3）．
顯然拋物線不能同時經(jīng)過共線的三點(diǎn)及同在y軸或與y軸平行的兩點(diǎn)，故經(jīng)過經(jīng)過點(diǎn)O、A、B、D、E和F中的三點(diǎn)的拋物線共有4條，
即y_FOA、y_DEA、y_BEA、y_DFA．其中開口向下的有y_FOA、y_DFA．
拋物線y_FOA與x軸交于O、A兩點(diǎn)，且EF垂直平分OA，
∴拋物線y_FOA的對稱軸為直線EF，
∴頂點(diǎn)為點(diǎn)F，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）．
設(shè)拋物線y_DFA的解析式為y=ax²+bx+c，則據(jù)條件可得：

64a+8b+c=0 16a+4b+c=3 c=3

，
解得a=-

3

32

，b=

3

8

，c=3．
∴yDFA=-

3

32

x2+

3

8

x+3=-

3

32

(x-2)2+

27

8

．
即頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，

27

8

)．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理的運(yùn)用等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．同時考查學(xué)生計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．