Question

在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，BE、CF與射線AE分別相交于點(diǎn)E、F（射線AE不經(jīng)過(guò)點(diǎn)D）．
（1）如圖①，當(dāng)BE∥CF時(shí)，連接ED并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)H．求證：四邊形BECH是平行四邊形；
（2）如圖②，當(dāng)BE⊥AE于點(diǎn)E，CF⊥AE于點(diǎn)F時(shí)，分別取AB、AC的中點(diǎn)M、N，連接ME、MD、NF、ND．求證：∠EMD=∠FND．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依據(jù)AAS求得△BDE≌△CDH得出ED=HD，最后根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求得．
（2）連接FD、ED，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)H，根據(jù)直角三角形斜邊的中線定理和三角形的中位線定理求得ME=DN，MD=NF，進(jìn)而根據(jù)SSS即可證明△MED≌△NDF，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等求得∠EMD=∠FND．

解答：證明：（1）如圖①，∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCH，
在△BDE與△CDH中，

∠DBE=∠DCH ∠BDE=∠CDH BD=CD

，
∴△BDE≌△CDH（AAS），
∴ED=HD，
∴四邊形BECH是平行四邊形；

（2）如圖②連接FD、ED，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)H，
∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴BE∥CF，
由（1）可知ED=HD，又∵CF⊥AE，
∴ED=FD，
∵在RT△AEB中，M是AB的中點(diǎn)，
∴ME=

1

2

AB，
∵在△ABC中，D、N分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴DN=

1

2

AB，
∴ME=DN，
同理，MD=NF，
在△MED與△NDF中，

ED=FD ME=DN MD=NF

，
∴△MED≌△NDF（SSS），
∴∠EMD=∠FND．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的定理等，此題的根據(jù)是能夠找出三角形全等的條件，證得全等．