Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且A(1，0)、B(4，0)．

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1，拋物線的對(duì)稱軸m與x軸交于點(diǎn)E，CD⊥m，垂足為D，點(diǎn)F(，0)，動(dòng)點(diǎn)N在線段DE上運(yùn)動(dòng)，連接CF、CN、FN，若以點(diǎn)C、D、N為頂點(diǎn)的三角形與△FEN相似，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)如圖2，點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若∠PMA=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）．

（2）N或N．

（3）P．

【解析】

（1）直接把A(1，0)、B(4，0)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸，然后求得CD，EF的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）則ND＝，NE＝，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，然后可求得的值；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AD∥y軸，過(guò)點(diǎn)M作DM∥x軸，交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x軸，垂足為F，連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P．則△AME為等腰直角三角形，然后再求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可得到MD＝2，AD＝6，然后證明∴△ADM≌△AFE，于是可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求得EM的解析式為，最后求得直線EM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解：(1)把A(1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+4

解得：

所以二次函數(shù)為：．

(2)因?yàn)?/span>CD⊥m，FE⊥m，

所以

①當(dāng)時(shí)，則

因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸為，C（0,4）F(，0)

所以CD＝，EF＝，設(shè)N（，）

所以NE＝，DN＝4－，

所以 ，即，

解得：，所以N（，2）．

②當(dāng)時(shí)，則，

所以，解得： ，

所以N（， ），

綜上可知N（，2）或N（， ）．

(3) 如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AD∥y軸，過(guò)點(diǎn)M作DM∥ 軸，交點(diǎn)為D，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥軸，垂足為F，連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P．

∵AM＝AE，∠MAE＝90°，

∴∠AMP＝45°．

將代入拋物線的解析式得：，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）． ∴MD＝2，AD＝6．

∵∠DAM+∠MAF＝90°，∠MAF+∠FAE＝90°，

∴∠DAM＝∠FAE．

在△ADM和△AFE中

∴△ADM≌△AFE． ∴EF＝DM＝2，AF＝AD＝6．

∴E（5，-2）．

設(shè)EM的解析式為． 將點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：

解得

∴直線EM的解析式為．

所以

解得： 或 , ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）．