Question

已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度數(shù)．
（2）探索∠DAE與∠C-∠B的關系，并說明．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的角平分線、中線和高,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內角和定理求出∠BAC，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，然后根據(jù)∠DAE=∠BAD-∠BAE計算即可得解；
（2）把（1）中角的度數(shù)改為角整理即可得解．

解答：解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×100°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-50°=10°；

（2）2∠DAE=∠C-∠B．
理由如下：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°-∠B，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-

1

2

（180°-∠B-∠C）=

1

2

（∠C-∠B），
∴2∠DAE=∠C-∠B．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形角平分線的定義，高線的定義，熟記定理以及概念并準確識圖，理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．