【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,E,F分別是DC和CB的延長線上的點,且BF=DE,連接AE,AF,EF.
(1)判斷△ABF與△ADE有怎樣的關系,并說明理由;
(2)求∠EAF的度數(shù),寫出△ABF可以由△ADE經過怎樣的圖形變換得到;
(3)若BC=6,DE=2,求△AEF的面積.
【答案】(1)△ABF ≌△ADE,理由詳見解析;(2)△ABF可以由△ADE繞點A順時針方向旋轉90°得到;(3)20.
【解析】
(1)利用正方形的性質結合全等三角形的判定與性質得出答案;
(2)由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE,則∠BAF+∠BAE=90°,即∠FAE=90°,根據(jù)旋轉的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點,按順時針方向旋轉90度得到;
(3)首先利用勾股定理求出AE的長,由題意可得AF=AE,∠EAF=90°,再由三角形面積公式得出答案.
(1)△ABF ≌△ADE
理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABC=∠D=90°,
∵點F是CB的延長線上的點,
∴∠ABF=90°,
在△ABF和△ADE中
∴△ABF ≌△ADE(SAS);
(2)∵△ABF ≌△ADE
∴∠BAF=∠DAE,
∵∠DAE+∠EAB=90°,
∴∠BAF+∠EAB=90°,即∠FAE=90°,
∴△ABF可以由△ADE繞點A順時針方向旋轉90°得到;
(3)∵BC=6,
∴AD=6,
在Rt△ADE中,DE=2,AD=6,
∴AE= =
∵△ABF可以由△ADE繞點A順時針方向旋轉90 度得到,
∴AF=AE=,∠EAF=90°,
∴S△AEF=AFAE=20
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【題目】拋物線(為常數(shù),)經過點,且關于直線對稱,是拋物線與x軸的一個交點.有下列結論:①方程的一個根是x=-2;②若,則;③若時,方程有兩個相等的實數(shù)根,則;④若時,,則.其中正確結論的個數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】“機動車行駛到斑馬線要禮讓行人”等交通法規(guī)實施后,某校數(shù)學課外實踐小組就對這些交通法規(guī)的了解情況在全校隨機調查了部分學生,調查結果分為四種:A.非常了解,B.比較了解,C.基本了解,D.不太了解,實踐小組把此次調查結果整理并繪制成下面不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.
請結合圖中所給信息解答下列問題:
(1)本次共調查 名學生;扇形統(tǒng)計圖中C所對應扇形的圓心角度數(shù)是 ;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校共有800名學生,根據(jù)以上信息,請你估計全校學生中對這些交通法規(guī)“非常了解”的有多少名?
(4)通過此次調查,數(shù)學課外實踐小組的學生對交通法規(guī)有了更多的認識,學校準備從組內的甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩名學生參加市區(qū)交通法規(guī)競賽,請用列表或畫樹狀圖的方法求甲和乙兩名學生同時被選中的概率.
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【題目】我市某企業(yè)承接了上海世博會的禮品盒制作業(yè)務,他們購得規(guī)格是170cm×40cm的標準板材作為原材料,每張標準板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材.如圖1所示,(單位:cm)
(1)列出方程(組),求出圖甲中a與b的值.
(2)若將30張標準板材用裁法一裁剪,4張標準板材用裁法二裁剪,再將得到的A型與B型板材做側面和底面,做成圖2的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒.
①兩種裁法共產生A型板材 張,B型板材 張;
②做成的豎式和橫式兩種無蓋禮品盒總數(shù)最多是多少個?此時橫式無蓋禮品盒可以做多少個?
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【題目】問題:如圖①,在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=,PC=1,求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長.
李明同學的思路是:將△BPC繞點B逆時針旋轉60°,畫出旋轉后的圖形(如圖②),連接PP′,可得△P′PB是等邊三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),可得∠AP′B= °,所以∠BPC=∠AP′B= °,還可證得△ABP是直角三角形,進而求出等邊三角形ABC的邊長為 ,問題得到解決.
(1)根據(jù)李明同學的思路填空:∠AP′B= °,∠BPC=∠AP′B= °,等邊三角形ABC的邊長為 .
(2)探究并解決下列問題:如圖③,在正方形ABCD內有一點P,且PA=,PB=,PC=1.求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長.
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【題目】如圖,拋物線與y軸交于A點,過點A的直線與拋物線交于另一點B,過點B作BC⊥x軸,垂足為點C(3,0).
(1)求直線AB的函數(shù)關系式;
(2)動點P在線段OC上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動,過點P作PN⊥x軸,交直線AB于點M,交拋物線于點N. 設點P移動的時間為t秒,MN的長度為s個單位,求s與t的函數(shù)關系式,并寫出t的取值范圍;
(3)設在(2)的條件下(不考慮點P與點O,點C重合的情況),連接CM,BN,當t為何值時,四邊形BCMN為平行四邊形?問對于所求的t值,平行四邊形BCMN是否菱形?請說明理由
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【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3的圖象交x軸于點A、B(點A在點B的左側).若把點B向上平移m(m>0)個單位長度得點B1,若點B1向左平移n(n>0)個單位長度,將與該二次函數(shù)圖象上的點B2重合;若點B1向左平移(n+2)個單位長度,將與該二次函數(shù)圖象上的點B3重合.則n的值為( 。
A.1B.2C.3D.4
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【題目】河南省政府為促進農業(yè)發(fā)展,加快農村建設,計劃扶持興建一批新型鋼管裝配式大棚,如圖1所示線段AB、BD分別為大棚的墻高和跨度,AC表示保溫板的長,已知墻高AB為3米,墻面與保溫板所成的角∠BAC=150°,在點D處測得A點、C點的仰角分別為9°,15.6°,如圖2所示求保溫板AC的長是多少米?(精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):sin9°≈0.16,cos9°≈0.99,tan9°≈0.16,sin15.6°≈0.27,cos15.6°≈0.96,tan15.6°≈0.28,≈1.73)
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