Question

如圖，⊙O的半徑為2，AB、CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，點Q是MN的中點，當(dāng)點P沿著圓周從D運動到點C時，tan∠QCN的最大值為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：利用矩形的性質(zhì)得出OQ=

1

2

MN=

1

2

OP=1，再利用當(dāng)CQ與此圓相切時，∠QCN最大，此時，在直角三角形CQ′O中，進(jìn)而求出即可．

解答：解：連接OQ，
∵M(jìn)N=OP（矩形對角線相等），⊙O的半徑為2，
∴OQ=

1

2

MN=

1

2

OP=1，
可得點Q的運動軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，當(dāng)CQ與此圓相切時，
∠QCN最大，則tan∠QCN的最大值，
此時，在直角三角形CQ′O中，
∠CQ′O=90°，OQ′=1，CO=2，
所以 此時∠Q′CN=30°，
tan∠QCN最大值為：

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及特殊角的三角函數(shù)值等知識，得出當(dāng)CQ與此圓相切時，∠QCN最大進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．