Question

19．已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設CE=a，CF=b．

（1）如圖1，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；
（2）當△AEF是直角三角形時，求a、b的值；
（3）如圖3，探索∠EAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當∠EAF被對角線AC平分時，易證△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．
（2）分兩種情況進行計算，①先用勾股定理得出CF²=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，兩式聯(lián)立解方程組即可；
（3）先判斷出∠AFD=∠CEF，再判斷出AF=EF，從而得到△ADF≌△FCE即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠EAF被對角線AC平分，
∴∠CAF=∠CAE，
在△ACF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠ACE}\\{AC=AC}\\{∠CAF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE，
∵CE=a，CF=b，
∴a=b，
∵△ACF≌△ACE，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，
∵∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CE=AC=4$\sqrt{2}$，
即：a=b=4$\sqrt{2}$；
（2）當△AEF是直角三角形時，
①當∠AFE=90°時，∴∠AFD+∠CFE=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，
∴∠AEF=45°=∠EAF
∴AF=EF，
在△ADF和△FCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠FCE}\\{∠AFD=∠CEF}\\{AF=EF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△FCE，
∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，
∴a=8，b=4
②當∠AEF=90°時，
同①的方法得，CF=8，CE=4，
∴a=4，b=8．
（3）ab=32，
理由：如圖，

∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAG+∠CAF=45°，
∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，
∴△ACF∽△ECA，
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{CF}{AC}$，
∴EC×CF=AC²=2AB²=32
∴ab=32．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，相似三角形的性質和判定，解本題的關鍵是判斷△ACF∽△ECA，也是本題的難點．