Question

12．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，P是對角線AC上任意一點，E為AD上的點，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求證：四邊形PMAN是正方形；
（2）求證：EM=BN；
（3）若點P在線段AC上移動，其他不變，設PC=x，AE=y，求y關于x的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，PN⊥AB，即可證得四邊形PMAN是正方形；
（2）由四邊形PMAN是正方形，易證得△EPM≌△BPN，即可證得：EM=BN；
（3）首先過P作PF⊥BC于F，易得△PCF是等腰直角三角形，繼而證得△APM是等腰直角三角形，可得AP=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AE+EM），即可得方程$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四邊形PMAN是矩形，
∴四邊形PMAN是正方形；

（2）證明：∵四邊形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠PNB=90°}\\{PM=PN}\\{∠MPE=∠NPB}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN；

（3）解：過P作PF⊥BC于F，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=1，∠PCF=45°，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，△PCF是等腰直角三角形，
∴AP=AC-PC=$\sqrt{2}$-x，BN=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴EM=BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠PAM=45°，∠PMA=90°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AE+EM），
即$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），
解得：y=1-$\sqrt{2}$x，
∴x的取值范圍為0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y=1-$\sqrt{2}$x（0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的判定與性質．注意準確作出輔助線、掌握方程思想的應用是解此題的關鍵．