Question

20．如圖，在△ABC中，AB⊥EC于點E，∠ABC=45°，BD平分∠ABC且與CE交于點F，BE=a，F(xiàn)E=b，點M，N分別是BD，BC上的動點，當(dāng)MN+MC最小時，此時動點N與點C的距離為b．

Answer 1

分析 根據(jù)兩點之間線段最短可知：當(dāng)M與F重合，N點是E點關(guān)于BD的對稱點時，MN+MC值最小，此時MN+MC=CE，作FN′⊥BC于N′，證得CN′=FN′，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=FN′=b，即可求得當(dāng)MN+MC最小時動點N與點C的距離為b．

解答 解：根據(jù)兩點之間線段最短可知：當(dāng)M與F重合，N點是E點關(guān)于BD的對稱點時，MN+MC值最小，此時MN+MC=CE，
作FN′⊥BC于N′，
∵AB⊥EC于點E，∠ABC=45°，
∴∠BCE=45°，
∴△FN′C是等腰直角三角形，
∴CN′=FN′，
∵BD平分∠ABC，F(xiàn)E⊥AB，F(xiàn)N′⊥BC，
∴EF=FN′=b，
∴CN′=b，
∴當(dāng)MN+MC最小時動點N與點C的距離為b．
故答案為b．

點評 此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的判斷判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．