【題目】在中,射線平分交于點,點在邊上運動(不與點重合),過點作交于點.
(1)如圖1,點在線段上運動時,平分.
①若,,則_____;若,則_____;
②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(2)點在線段上運動時,的角平分線所在直線與射線交于點.試探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)①115°,110°;②,證明見解析;(2),證明見解析.
【解析】
(1)①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°;再由平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C=30°,∠FMD=∠GAC=50°;由三角形的內(nèi)角和定理求得∠AFD的度數(shù)即可;已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC,∠FDM=∠EDG;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C,∠FMD=∠GAC;即可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×140°=70°;再由三角形的內(nèi)角和定理可求得∠AFD=110°;②∠AFD=90°+∠B,已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC,∠FDM=∠EDG;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C,∠FMD=∠GAC;由此可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×(180°-∠B)=90°-∠B;再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠AFD=90°+∠B;(2)∠AFD=90°-∠B,已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC,∠NDE=∠EDB,即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB=∠C,∠FMD=∠GAC;即可得到∠FDM=∠NDE=∠C,所以∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×(180°-∠B)=90°-∠B;再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.
(1)①∵AG平分∠BAC,∠BAC=100°,
∴∠CAG=∠BAC=50°;
∵,∠C=30°,
∴∠EDG=∠C=30°,∠FMD=∠GAC=50°;
∵DF平分∠EDB,
∴∠FDM=∠EDG=15°;
∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°;
∵∠B=40°,
∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°;
∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,
∴∠CAG=∠BAC,∠FDM=∠EDG,
∵DE//AC,
∴∠EDG=∠C,∠FMD=∠GAC;
∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×140°=70°;
∴∠AFD=180°-(∠FDM +∠FMD)=180°-70°=110°;
故答案為:115°,110°;
②∠AFD=90°+∠B,理由如下:
∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,
∴∠CAG=∠BAC,∠FDM=∠EDG,
∵DE//AC,
∴∠EDG=∠C,∠FMD=∠GAC;
∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×(180°-∠B)=90°-∠B;
∴∠AFD=180°-(∠FDM +∠FMD)=180°-(90°-∠B)=90°+∠B;
(2)∠AFD=90°-∠B,理由如下:
如圖,射線ED交AG于點M,
∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,
∴∠CAG=∠BAC,∠NDE=∠EDB,
∴∠FDM=∠NDE=∠EDB,
∵DE//AC,
∴∠EDB=∠C,∠FMD=∠GAC;
∴∠FDM=∠NDE=∠C,
∴∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×(180°-∠B)=90°-∠B;
∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.
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【題目】閱讀下題和解題過程:化簡,使結(jié)果不含絕對值.
解:當(dāng)時,即時,
原式
;
當(dāng),即時,
原式
這種解題的方法叫“分類討論法”.
(1)請你用“分類討論法”解一元一次方程:;
(2)試探究:當(dāng)分別為何值時,方程
①無解,②只有一個解,③有兩個解
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀:已知a+b=﹣4,ab=3,求a2+b2的值.
解:∵a+b=﹣4,ab=3,
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=(﹣4)2﹣2×3=10.
請你根據(jù)上述解題思路解答下面問題:
(1)已知a﹣b=﹣3,ab=﹣2,求(a+b)(a2﹣b2)的值.
(2)已知a﹣c﹣b=﹣10,(a﹣b)c=﹣12,求(a﹣b)2+c2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一艘漁船位于港口A的北偏東60°方向,距離港口20海里B處,它沿北偏西37°方向航行至C處突然出現(xiàn)故障,在C處等待救援,B,C之間的距離為10海里,救援船從港口A出發(fā)20分鐘到達(dá)C處,求救援的艇的航行速度.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8, ≈1.732,結(jié)果取整數(shù))
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【題目】如圖,已知直線,把的直角三角板的直角頂點放在直線上.將直角三角板在平面內(nèi)繞點任意轉(zhuǎn)動,若轉(zhuǎn)動的過程中,直線與直線的夾角為60°,則的度數(shù)為___.
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【題目】如圖,學(xué)校的實驗樓對面是一幢教學(xué)樓,小敏在實驗樓的窗口C測得教學(xué)樓頂總D的仰角為18°,教學(xué)樓底部B的俯角為20°,量得實驗樓與教學(xué)樓之間的距離AB=30m.
(結(jié)果精確到0.1m。參考數(shù)據(jù):tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)
(1)求∠BCD的度數(shù).
(2)求教學(xué)樓的高BD
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【題目】如圖,CD是一高為4米的平臺,AB是與CD底部相平的一棵樹,在平臺頂C點測得樹頂A點的仰角α=30°,從平臺底部向樹的方向水平前進(jìn)3米到達(dá)點E,在點E處測得樹頂A點的仰角β=60°,求樹高AB(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,物理教師為同學(xué)們演示單擺運動,單擺左右擺動中,在OA的位置時俯角∠EOA=30°,在OB的位置時俯角∠FOB=60°,若OC⊥EF,點A比點B高7cm.求:
(1)單擺的長度( ≈1.7);
(2)從點A擺動到點B經(jīng)過的路徑長(π≈3.1).
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【題目】如圖,在ABCD中,AE⊥BC于點E,延長BC至點F使CF=BE,連結(jié)AF,DE,DF.
(1)求證:四邊形AEFD是矩形;
(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的長.
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