Question

9．如圖1，已知：拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線是y=$\frac{1}{2}$x-2，連結(jié)AC．
（1）B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（4，0）、C（0，-2），拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFC（頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在AB邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
[拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是$（{-\frac{2a}，\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}}）$]

Answer 1

分析 （1）先利用一次函數(shù)解析式和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定C點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后把C點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）先解方程$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0確定A（-1，0），再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AC²=5，BC²=20，AB²=25，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ABC是直角三角形；
（3）分類討論：當(dāng)矩形DEFG頂點(diǎn)D在AB上時(shí)，點(diǎn)F與C重合，如圖1，設(shè)CG=x，證明△AGD∽△ACB，利用相似比得到DG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-x），根據(jù)矩形面積公式得到S_矩形DEFG=-$\frac{5}{2}$x²+$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，則利用二次函數(shù)的性質(zhì)可確定x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大值為$\frac{5}{8}$；當(dāng)矩形DEFG兩個(gè)頂點(diǎn)D、E在AB上時(shí)，如圖2，CO交GF于H，設(shè)DG=x，則OH=x，CH=2-x，通過證明△CGF∽△CAB，利用相似比得到GF=$\frac{5}{2}$（2-x），則S_矩形DEFG=-$\frac{5}{2}$x²+5x，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x=1時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大值為$\frac{5}{2}$，然后比較兩個(gè)面積的最大值得到矩形DEFG兩個(gè)頂點(diǎn)D、E在AB上時(shí)，矩形的面積最大，接下來利用相似比計(jì)算此時(shí)OD，從而得到OE的長，于是得到它們的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x-2=-2，則C（0，-2），
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x-2=0，解得x=4，則B（4，0），
把B（4，0），C（0，-2）代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{8+4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
故答案為4，0，0，-2，$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x-2$；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x₁=-1，x₂=4，則A（-1，0），
∵AC²=1²+2²=5，BC²=4²+2²=20，AB²=5²=25，
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（3）能．
當(dāng)矩形DEFG頂點(diǎn)D在AB上時(shí)，點(diǎn)F與C重合，如圖1，設(shè)CG=x，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB，
∴AG：AC=DG：BC，即（$\sqrt{5}$-x）：$\sqrt{5}$=DG：2$\sqrt{5}$，解得DG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-x），
∴S_矩形DEFG=x•$\frac{5}{2}$（$\sqrt{5}$-x）=-$\frac{5}{2}$x²+$\frac{\sqrt{5}}{2}$x=-$\frac{5}{2}$（x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²+$\frac{5}{8}$，
此時(shí)x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大值為$\frac{5}{8}$，
當(dāng)矩形DEFG兩個(gè)頂點(diǎn)D、E在AB上時(shí)，如圖2，CO交GF于H，設(shè)DG=x，則OH=x，CH=2-x，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴GF：AB=CH：CO，即GF：5=（2-x）：2，解得GF=$\frac{5}{2}$（2-x），
∴S_矩形DEFG=x•$\frac{5}{2}$（2-x）=-$\frac{5}{2}$x²+5x=-$\frac{5}{2}$（x-1）²+$\frac{5}{2}$，
此時(shí)x=1時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大值為$\frac{5}{2}$，
綜上所述，當(dāng)矩形DEFG兩個(gè)頂點(diǎn)D、E在AB上時(shí)，矩形的面積最大，如圖2，
∵DG=1，
∴DE=$\frac{5}{2}$×（2-1）=$\frac{5}{2}$，
∵DG∥OC，
∴△ADG∽△ACO，
∴AD：AO=DG：OC，即AD：1=1：2，解得AD=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
∴D（-$\frac{1}{2}$，0），E（2，0）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；能利用勾股定理的逆定理證明直角三角形；靈活運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長．