Question

【題目】如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，問四邊形是垂美四邊形嗎?請說明理由；

(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對角線交于點，.

試證明：；

(3)解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié).已知，求的長.

Answer 1

【答案】(1)是，理由見解析； (2)見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；
（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計算．

解：（1）是

理由：，

∴在的垂直平分線上.

∵，

∴在的垂直平分線上.

∴垂直平分.

∴四邊形為垂美四邊形.

（2）如圖2，連接AC和BD，

，

，

，

，

.

.

.

；

（3）連接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵，

∴AC=，AB=2，CG=，BE=，

∴GE2=CG2+BE2-CB2=13，
∴GE=.