Question

10．如圖，在直角坐標系中，A在x軸負半軸上，C點在y軸正半軸上，OG是第一象限角平分線，AC的垂直平分線分別與AC，y軸及x軸相交于D，E，B，且OC=OB
（1）若射線OG上有一點F，且FE=FB，四邊形OBFE的面積是8，試求F的坐標．
（2）若A（-1，0），試求B，D的坐標；
（3）在（2）的條件下，在直線OG上有一點P，若△POB是等腰三角形，試求P的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過F作FM⊥x軸于M，F(xiàn)N⊥y軸于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到FN=FM，推出Rt△FNE≌Rt△FBM，得到S_△FNE=S_△FBM，求得S_{正方形MFNO}=8，即可得到結(jié)論；
（2）設B（a，0），于是得到AB=1+a，OB=OC=a，由BD是AC的垂直平分線，得到BC=AB=a+1，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，①當OP₁=OB=1+$\sqrt{2}$，過P₁作P₁H⊥x軸于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到P₁H=OH=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，求得P₁（$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$），②當OP₂=P₂B時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠OP₂B=90°，過P₂作P₂Q⊥OB于Q由等腰直角三角形的性質(zhì)得到P₂（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$），③當P₃B=OB=1+$\sqrt{2}$時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠P₃OB=∠OP₃B=45°，由三角形的內(nèi)角和得到∠P₃BO=90°，于是得到P₃（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．

解答 解：（1）如圖1，過F作FM⊥x軸于M，F(xiàn)N⊥y軸于N，
∵OG是第一象限角平分線，
∴FN=FM，
∴四邊形MFNO是正方形，
在Rt△FNE與Rt△FBM中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=BF}\\{FN=FM}\end{array}\right.$，
∴Rt△FNE≌Rt△FBM，
∴S_△FNE=S_△FBM，
∵四邊形OBFE的面積是8，
∴S_{正方形MFNO}=8，
∴FM=FN=2$\sqrt{2}$；
∴F（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；

（2）設B（a，0），
∴AB=1+a，OB=OC=a，
∵BD是AC的垂直平分線，
∴BC=AB=a+1，
∴a²+a²=（a+1）²，
∴a=1+$\sqrt{2}$，（負值舍去），
∴B（1+$\sqrt{2}$，0），
∴C（0，1+$\sqrt{2}$），
∵D是AC的中點，
∴D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）；

（3）如圖2，①當OP₁=OB=1+$\sqrt{2}$，過P₁作P₁H⊥x軸于H，
∵∠P₁OB=45°，
∴P₁H=OH=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，
∴P₁（$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$），
②當OP₂=P₂B時，
∴∠P₂OB=∠P₂BO=45°，
∴∠OP₂B=90°，
過P₂作P₂Q⊥OB于Q，
∴P₂Q=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴P₂（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$），
③當P₃B=OB=1+$\sqrt{2}$時，
∵∠P₃OB=90°，
∴∠P₃OB=∠OP₃B=45°，
∴∠P₃BO=90°，
∴P₃（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$），
綜上所述：P（$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$），（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．