Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的⊙O交邊AB于另一點(diǎn)E，延長(zhǎng)CO交邊AB于點(diǎn)D，EF∥CD交⊙O于另一點(diǎn)F， 連接CF。

（1）若⊙O的半徑為4，求弧CE的長(zhǎng)；

（2）求證：四邊形EFCO是菱形;

（3）若BC=6，tan∠CDB=3，求BD的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）3+

【解析】分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠COE=120°,再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可得解；

（2）如圖，連接OF，易證△OEF和△OCF是等邊三角形，得EF=OE=CF=OC，故得四邊形EFCO是菱形;

（3）作CH⊥AB于點(diǎn)H，可得∠CHD=∠CHE=90°，在Rt△CHB中，∠ABC=60°，BC=6，故BH=3，CH=.在Rt△CHD中，tan∠CDB=3，故DH=CH=,故BD=3+.

（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°

∴∠COE=120°

∴弧CE的長(zhǎng)

（2）如圖，連接OF，

∵∠COE=120°，

∴∠DOE=60°，

∵EF∥CD，

∴∠OEF=60°,

∵OE=OF，

∴△OEF是等邊三角形，

∴EF= OE =r，∠FOE=60°，

∴∠COE=∠COE-60°=60°,

∵OC=OF，

∴△OCF是等邊三角形，

∴CF=OC=r，

∴EF=OE=CF=OC，

∴四邊形EFCO是菱形.

（3）作CH⊥AB于點(diǎn)H，可得∠CHD=∠CHE=90°，

在Rt△CHB中，

∵∠ABC=60°，BC=6，

∴BH=3，CH=.

在Rt△CHD中，tan∠CDB=3，

∴DH=CH=,

∴BD=3+.