Question

如圖，拋物線y=-

1

4

x²+

3

2

x-2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．
（1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；
（2）求△BCF的面積；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,三角形的面積,勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的應(yīng)用

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可得點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)勾股定理可得BC的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形面積公式即可求解；
（3）存在．分兩種情況討論：①過A作AP₁⊥x軸交線段BC于點(diǎn)P₁，則△BAP₁∽△BOC；②過A作AP₂⊥BC，垂足點(diǎn)P₂，過點(diǎn)P₂作P₂Q⊥x軸于點(diǎn)Q．則△BAP₂∽△BCO；依此討論即可求解．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-

1

4

x²+

3

2

x-2=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（4，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，-2），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b=-2 4k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=-2

．
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x-2；

（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，
∴∠ECD=90°，
∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，-2），
∴BC=

OB2+OC2

=

42+22

=2

5

，
∵△FEC是由△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴△BCF的面積=

1

2

BC•FC=

1

2

×2

5

×2

5

=10；

（3）存在．
分兩種情況討論：
①過A作AP₁⊥x軸交線段BC于點(diǎn)P₁，則△BAP₁∽△BOC，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)是2，
∵點(diǎn)P₁在點(diǎn)BC所在直線上，
∴y=

1

2

x-2=

1

2

×2-2=-1，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（2，-1）；
②過A作AP₂⊥BC，垂足點(diǎn)P₂，過點(diǎn)P₂作P₂Q⊥x軸于點(diǎn)Q．
∴△BAP₂∽△BCO，
∴

AP2

CO

=

AB

CB

，

AP2

CO

=

BP2

OB

∴

AP2

2

=

2

2 5

，
解得AP₂=

2 5

5

，
∵

AP2

CO

=

BP2

OB

，
∴AP₂•BP=CO•BP₂，
∴

2 5

5

×4=2BP₂，
解得BP₂=

4 5

5

，
∵

1

2

AB•QP₂=

1

2

AP₂•BP₂，
∴2QP₂=

2 5

5

×

4 5

5

，
解得QP₂=

4

5

，
∴點(diǎn)P₂的縱坐標(biāo)是-

4

5

，
∵點(diǎn)P₂在BC所在直線上，
∴x=

12

5

∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（

12

5

，-

4

5

），
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）或（

12

5

，-

4

5

）．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)為：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法可求直線的函數(shù)解析式，勾股定理可，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形面積，分類思想，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．