【題目】如圖,點P在平行四邊形ABCD的邊BC上,將△ABP沿直線AP翻折,點B恰好落在邊AD的垂直平分線上,如果AB=5,AD=8,tanB=,那么BP的長為_____.
【答案】或7
【解析】
①如圖1,過A作AH⊥BC于H,連接DB′,設AH=4x,BH=3x,根據勾股定理得到AB==5x=5,根據旋轉的性質得到AB′=AB=5,AM=DM=AD=4,∠AMN=∠HNM=90°,根據勾股定理得到MB′==3,求得HN=MN=4,根據相似三角形的性質即可得到結論;
②如圖2,由①知,MN=4,MB′=3,BN=7,求得NB=NB′,推出點P與N重合,得到BP=BN=7.
①如圖1,過A作AH⊥BC于H,連接DB′,
設BB′與AP交于E,
AD的垂直平分線交AD于M,BC于N,
∵tanB=,
∴設AH=4x,BH=3x,
∴AB==5x=5,
∴x=1,
∴AH=4,BH=3,
∵將△ABP沿直線AP翻折,點B恰好落在邊AD的垂直平分線MN上,
∴AB′=AB=5,AM=DM=AD=4,∠AMN=∠HNM=90°,
∴四邊形AHNM是正方形,MB′==3,
∴HN=MN=4,
∴BN=7,B′N=1,
∴BB′=,
∴BE=BB′=,
∵∠BEP=∠BNB′=90°,∠PBE=∠B′BN,
∴△BPE∽△BB′N,
∴,
∴,
∴BP=;
②如圖2,由①知,MN=4,MB′=3,BN=7,
∴NB=NB′,
∴點N在BB′的垂直平分線上,
∵將△ABP沿直線AP翻折,點B恰好落在邊AD的垂直平分線上,
∴點P也在BB′的垂直平分線上,
∴點P與N重合,
∴BP=BN=7,
綜上所述,BP的長為或7.
故答案為:或7.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,作直線,點的坐標為,點的坐標為.
(1)求拋物線的解析式并寫出其對稱軸;
(2)為拋物線對稱軸上一點,當是以為直角邊的直角三角形,求點坐標;
(3)若為軸上且位于點下方的一點,為直線上的一點,在第四象限的拋物線上是否存在一點.使以為頂點的四邊形是菱形且為菱形對角線?若存在,請求出點的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,O為BC的中點,作⊙O與AC相切于點D.
(1)求證:AB與⊙O相切;
(2)延長AC到E,使得CE=AC,連接BE交⊙O與點F、M,若AB=4,求FM的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】設a,b是任意兩個不等實數,我們規(guī)定:滿足不等式的實數x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為對于一個函數,如果它的自變量x與函數值y滿足:當,我們就稱此函數是閉區(qū)間上的“閉函數”.
(1)反比例函數是閉區(qū)間上的“閉函數”嗎?請判斷并說明理由;
(2)若一次函數是閉區(qū)間上的“閉函數”,求此函數的解析式;
(3)若函數是閉區(qū)間上的“閉函數”,求實數a,b的值.
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【題目】已知銳角的余弦值為,點在射線上,,點在的內部,且,.過點的直線分別交射線、射線于點、.點在線段上(點不與點重合),且.
(1)如圖1,當時,求的長;
(2)如圖2,當點在線段上時,設,,求關于的函數解析式并寫出函數定義域;
(3)聯(lián)結,當與相似時,請直接寫出的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,小華設計了一個探索杠桿平衡的實驗:在一根勻質的木桿中點O左側固定位置B處懸掛重物A,在中點O的右側用一個彈簧秤向下拉木桿,改變彈簧秤與點O的距離x(單位:厘米),觀察彈簧秤的示數y(單位:牛)的變化情況,實驗數據記錄如下:
x(單位:厘米) | … | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | … |
y(單位:牛) | … | 30 | 20 | 15 | 12 | 10 | … |
(1)請寫出一個符合表格中數據x關于y的函數關系;
(2)當彈簧秤的示數為30牛時,彈簧秤與點O的距離是多少厘米?隨著彈簧秤與O點的距離不斷減小,彈簧秤的示數將發(fā)生怎樣的變化?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分別交BC、BD于點E、F,若CE=2,連接CF.以下結論:①∠BAF=∠BCF; ②點E到AB的距離是2; ③S△CDF:S△BEF=9:4; ④tan∠DCF=3/7. 其中正確的有()
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】如圖,在等腰直角中,,,點是邊上一動點,連接,以點為中心,將線段順時針旋轉135°,得到線段,連接.
(1)依題意,補全圖形;
(2)求證:;
(3)點在線段的延長線上,點是點關于點的對稱點,寫出的一個值,使得對任意的點總有,并證明.
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