Question

如圖1，分別以△ABC的邊AB、AC為邊長，在△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD和BE交于點P．

（1）判斷線段CD和BE有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖2，若△ADB和△ACE都是等腰三角形，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，連接CD和BE交于點P，判斷線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖2，若∠BPD=α，∠ADB=β，請直接寫出α與β的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）先求得∠DAC=∠BAE，然后根據(jù)SAS證得△DAC≌△BAE即可；
（3）根據(jù)三角形全等得出∠ADC=∠ABE，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得；

解答：證明：（1）∵以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△AC，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；

（2）CD=DE，
理由：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；

（3）α+2β=180°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BPC=∠PDB+∠DBE=∠PDB+∠ABD+∠ABE=∠PDB+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=2∠ADB=2β，
∴α+2β=180°．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△DAC≌△BAE，題目是一道比較好的題目，難度適中．