Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求OA、OB的長．
（2）若點E為x軸正半軸上的點，且S_△AOE=

16

3

，求經(jīng)過D、E兩點的直線解析式及經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式，并判斷△AOE與△AOD是否相似．
（3）若點M在平面直角坐標系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度即可；
（2）先根據(jù)三角形的面積求出點E的坐標，并根據(jù)平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)求出點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．

解答：解：（1）方程x²-7x+12=0，
分解因式得：（x-3）（x-4）=0，
可得：x-3=0，x-4=0，
解得：x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3；
（2）根據(jù)題意，設(shè)E（x，0），則S_△AOE=

1

2

×OA×x=

1

2

×4x=

16

3

，
解得：x=

8

3

，
∴E（

8

3

，0）或（-

8

3

，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點D的坐標是（6，4），
設(shè)經(jīng)過D、E兩點的直線的解析式為y=kx+b，
則①

8 3 k+b=0 6k+b=4

，
解得：

k= 6 5 b=- 16 5

，
∴解析式為y=

6

5

x-

16

5

；
②

- 8 3 k+b=0 6k+b=4

，
解得：

k= 6 13 b= 16 13

，
解析式為：y=

6

13

x+

16

13

，
在△AOE與△DAO中，

OA

OE

=

4

8 3

=

3

2

，

AD

OA

=

6

4

=

3

2

，
∴

OA

OE

=

AD

OA

，
又∵∠AOE=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△DAO；
（3）根據(jù)計算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，
∵AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC，
分四種情況考慮：
①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，
∴點F與B重合，即F（-3，0）；
②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，
此時點F坐標為（3，8）；
③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=-

4

3

x+4，直線L過（

3

2

，2），且k值為

3

4

（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
∴L解析式為y=

3

4

x+

7

8

，
聯(lián)立直線L與直線AB，得：

y= 3 4 x+ 7 8 y= 4 3 x+4

，
解得：x=-

75

14

，y=-

22

7

，
∴F（-

75

14

，-

22

7

）；
④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，
∵S_△ABC=

1

2

BC•OA=

1

2

AB•CN=12，
∴CN=

BC•OA

AB

=

24

5

，
在△BCN中，BC=6，CN=

24

5

，
根據(jù)勾股定理得BN=

BC2-CN2

=

18

5

，即AN=AB-BN=5-

18

5

=

7

5

，
做A關(guān)于N的對稱點，記為F，AF=2AN=

14

5

，
過F做y軸垂線，垂足為G，F(xiàn)G=AFsin∠BAO=

14

5

×

3

5

=

42

25

，
∴F（-

42

25

，

44

25

），
綜上所述，滿足條件的點有四個：F₁（-3，0）；F₂（3，8）；F₃（-

75

14

，-

22

7

）；F₄（-

42

25

，

44

25

）．

點評：此題考查了解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強，（3）求點F要根據(jù)AC與AF是鄰邊與對角線的情況進行討論，不要漏解．