Question

4．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸負半軸上，斜邊AC上的中線BD的反向延長線交y軸正半軸于點E，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象經(jīng)過點A，S_△BEC=8，則k=16．

Answer 1

分析 根據(jù)題意證明△BOE∽△CBA，根據(jù)相似比及面積公式得出BO×AB的值即為|k|的值，再由函數(shù)所在的象限確定k的值．

解答 解：∵BD為Rt△ABC的斜邊AC上的中線，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠ACB，又∵∠DBC=∠EBO，
∴∠EBO=∠ACB，
∵∠BOE=∠CBA=90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴$\frac{OB}{BC}$=$\frac{OE}{AB}$，即BC×OE=BO×AB．
又∵S_△BEC=8，
∴$\frac{1}{2}$BC•EO=8，
即BC×OE=16=BO×AB=|k|．
∵反比例函數(shù)圖象在第三象限，k＞0．
∴k=16，
故答案為：16．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，此題主要涉及到反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)�？疾榈囊粋�知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=$\frac{1}{2}$|k|．