Question

【題目】如圖，直徑為AB的⊙O交Rt△BCD的兩條直角邊BC、CD于點E、F，且 ，連接BF．

（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）當CF=1且∠D=30°時，求AD長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OF．

∵ ，

∴∠CBF=∠FBA，

∵OF=OB，

∴∠FBO=∠OFB，

∴∠CBF=∠OFB，

∴BC∥OF，

∴∠OFC+∠C=180°，

∵∠C=90°，

∴∠OFC=90°，即OF⊥DC，

∴CD為⊙O的切線．

（2）

解：連接AF．

∵∠D=30°，∠C=90°，

∴∠CBD=60°

∵ ，

∴∠CBF=∠DBF= ∠CBD=30°，

在Rt△BCF中，∵FC=1，∠CBF=30°，

∴BF=2CF=2．

∴BC= = ，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，

在Rt△AFB中，∵∠ABF=30°，BF=2，

∴AF= AB．

∴AB2=（ AB）2+BF2，即 AB2=4，AB= ，

在Rt△DCB中，∵∠D=30°，BC= ，

∴BD=2BC=2 ．

∴AD=DB﹣AB=2 ﹣ = ．

【解析】（1）連接OF，只要證明OF∥BC，即可推出OF⊥CD，由此即可解決問題．（2）連接AF．思想在Rt△BCF中，求出BC，再在Rt△DBC中，求出DB，在Rt△ABF中，求出AB，根據(jù)AD=DB﹣AB即可解決問題．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用含30度角的直角三角形和圓心角、弧、弦的關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．