【題目】已知,如圖,拋物線y=ax2+3ax+ca0)與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,點A在點B左側(cè).點B的坐標為(1,0),OC=3OB

1)求拋物線的解析式;

2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點,求四邊形ABCD面積的最大值.

【答案】1y=x2+x﹣32

【解析】

試題分析:1)已知了B點坐標,易求得OB、OC的長,進而可將B、C的坐標代入拋物線中,求出待定系數(shù)的值,即可得出拋物線的解析式.

2)根據(jù)AC的坐標,易求得直線AC的解析式.由于AB、OC都是定值,則ABC的面積不變,若四邊形ABCD面積最大,則ADC的面積最大;可過Dx軸的垂線,交ACM,x軸于N;易得ADC的面積是DMOA積的一半,可設(shè)出N點的坐標,分別代入直線AC和拋物線的解析式中,即可求出DM的長,進而可得出四邊形ABCD的面積與N點橫坐標間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的最大面積.

解:(1B1,0),

OB=1;

OC=3BO,

C0,﹣3);(1分)

y=ax2+3ax+cB1,0)、C0,﹣3),

;

解這個方程組,得,

拋物線的解析式為:y=x2+x﹣3

2)過點DDMy軸分別交線段ACx軸于點M、N

y=x2+x﹣3中,令y=0,

得方程x2+x﹣3=0解這個方程,得x1=﹣4,x2=1

A﹣40

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

,

解這個方程組,得,

AC的解析式為:y=﹣x﹣3,

S四邊形ABCD=SABC+SADC

=+DMAN+ON

=+2DM

設(shè)Dx,x2+x﹣3),Mx,x﹣3),DM=﹣x﹣3﹣x2+x﹣3=﹣x+22+3,

x=﹣2時,DM有最大值3

此時四邊形ABCD面積有最大值

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