Question

8．設(shè)x，y都是正整數(shù)，且$\sqrt{x-116}$+$\sqrt{x+100}$=y，求y的最小值．

Answer 1

分析 已知等式右邊為整數(shù)，左邊的兩個二次根式必為整數(shù)，故設(shè)x-116=m²，x+100=n²，兩式相減利用平方差公式進行求解．

解答 解：∵x-116、x+100、y都為整數(shù)，
∴$\sqrt{x-116}$、$\sqrt{x+100}$必為整數(shù)，
設(shè)x-116=m²，x+100=n²，（m＜n，m、n為正整數(shù)）
兩式相減，得n²-m²=（n+m）（n-m）=216，
要m，n都是正整數(shù)，
∴將216分解成兩個偶數(shù)，
∵216=4×54=2×108=6×36=12×18，
①當(dāng)m+n=54時，此時n-m=4，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=25}\\{n=29}\end{array}\right.$，即：y=54，
②當(dāng)n+m=108時，此時n-m=2，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=53}\\{n=55}\end{array}\right.$，即：y=108，
③當(dāng)m+n=36時，此時n-m=6，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=15}\\{n=21}\end{array}\right.$，即：y=36，
④當(dāng)m+n=18，此時n-m=12，解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=15}\end{array}\right.$，即：y=18
綜上可得：y的值最小為18；
故答案為：18．

點評 本題考查了函數(shù)最值問題．解題時，尋找抵消規(guī)律，二次根式與整數(shù)的關(guān)系問題，運用平方差公式，具有一定的綜合．