Question

3．如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，點(diǎn)E在AD上，ED=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒3個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PF∥CE，與邊BA交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥BC，與CE交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式分別表示線段BF和PF的長度，則有BF=4t，PF=5t；
（2）如圖2，作D關(guān)于CE的對稱點(diǎn)D′，當(dāng)FG恰好過點(diǎn)D′時(shí)，求t的值；
（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在三角形FPG為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PBF∽△EDC，得$\frac{BF}{CD}$=$\frac{PF}{EC}$=$\frac{PB}{ED}$，由此即可解決問題．
（2）如圖2中，連接ED′，DD′交EC于點(diǎn)H，由△EDH∽△ECD，得$\frac{ED}{EC}$=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{EH}{ED}$，求出EH，DH，根據(jù)PF=CG，列出方程即可解決問題．
（3）是三種情形①當(dāng)PF=FG時(shí)，②當(dāng)PF=PG時(shí)，③當(dāng)FG=PG時(shí)，分別構(gòu)建方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，AD∥BC，
∠B=∠D=90°，
∵DE=3，CD=4，
∴EC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PF∥CE，
∴∠BPF=∠BCE=∠DEC，
∴△PBF∽△EDC，
∴$\frac{BF}{CD}$=$\frac{PF}{EC}$=$\frac{PB}{ED}$，
∴$\frac{BF}{4}$=$\frac{PF}{5}$=$\frac{3t}{3}$，
∴BF=4t，PF=5t，
故答案為4t，5t．

（2）如圖2中，連接ED′，DD′交EC于點(diǎn)H，則ED=ED′=3，

∵∠DEH=∠DEH，∠EDC=∠DHE，
∴△EDH∽△ECD，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{EH}{ED}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{DH}{4}$=$\frac{EH}{3}$，
∴EH=$\frac{9}{5}$，DH=$\frac{12}{5}$，
∴D′H=DH=$\frac{12}{5}$，GH=EH=$\frac{9}{5}$，
∵PF=CG，
∴5t=5-$\frac{18}{5}$，
∴t=$\frac{7}{25}$，

（3）存在．由題意PF=5t，F(xiàn)G=5-3t，
①當(dāng)PF=FG時(shí)，5t=5-3t，解得t=$\frac{5}{8}$，
②當(dāng)PF=PG時(shí)，F(xiàn)G=2BP，得5-3t=6t，解得t=$\frac{5}{9}$，
③當(dāng)FG=PG時(shí)，則PC=PG=5-3t，如圖3中，過點(diǎn)P作PM⊥CG于M，

由△PCM∽△FPB得$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CM}{BP}$，
∴$\frac{5-3t}{5t}$=$\frac{\frac{5}{2}t}{3t}$，解得t=$\frac{30}{43}$，
綜上所述，當(dāng)t的值為$\frac{5}{8}$秒或$\frac{5}{9}$秒或$\frac{30}{43}$秒時(shí)，△FPG是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用方程的思想思考問題，學(xué)會(huì)分類討論的思想解決問題，屬于中考壓軸題．