Question

拋物線與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．點P在拋物線上，直線PQ//BC交x軸于點Q，連接BQ．

（1）若含45°角的直角三角板如圖所示放置，其中一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式；

（2）若含30°角的直角三角板的一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上（點D不與點Q重合），另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．

 

Answer 1

解：（1）由拋物線解析式可得B點坐標（1，3）.

要求直線BQ的函數(shù)解析式，只需求得點Q坐標即可，即求CQ長度.

過點D作DG⊥x軸于點G，過點D作DF⊥QP于點F.

則可證△DCG≌△DEF.則DG=DF，∴矩形DGQF為正方形.

則∠DQG=45°，則△BCQ為等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此時，Q點坐標為（4，0）

可得BQ解析式為y=－x+4.

（2）要求P點坐標，只需求得點Q坐標，然后根據(jù)橫坐標相同來求點P坐標即可.

而題目當中沒有說明∠DCE=30°還是∠DCE=60°，所以分兩種情況來討論.

① 當∠DCE=30°時，

a）過點D作DH⊥x軸于點H，過點D作DK⊥QP于點K.

則可證△DCH∽△DEK.則，

在矩形DHQK中，DK=HQ，則.

在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.則在Rt△BCQ中，∴CQ=，此時，Q點坐標為（1+,0）

則P點橫坐標為1+.代入可得縱坐標.∴P（1+,）.

b）又P、Q為動點，∴可能PQ在對稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對稱軸對稱.

由對稱性可得此時點P坐標為（1－,）

② 當∠DCE=60°時，

a) 過點D作DM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥QP于點N.

則可證△DCM∽△DEN.則，

在矩形DMQN中，DN=MQ，則.

在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.則在Rt△BCQ中，

∴CQ=BC=，此時，Q點坐標為（1+，0）

則P點橫坐標為1+.代入可得縱坐標.∴P（1+,）.

b）又P、Q為動點，∴可能PQ在對稱軸左側(cè)，與上一種情形關(guān)于對稱軸對稱.

由對稱性可得此時點P坐標為（1－,）

綜上所述，P點坐標為（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.