【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2-x+cx軸于點A和點B(點A在原點的左側(cè),點B在原點的右側(cè)),點A的坐標為(-3,0),點B的坐標為(10),交y軸于點C

1)求該拋物線的解析式;

2)已知點P為拋物線上一點,直線PCx軸交于點Q,使得PQ=CQ,求P點坐標;

3)若點M是拋物線對稱軸上一點,點N是平面內(nèi)一點,是否存在以A,C,M,N為頂點的矩形?若存在,請直接寫出N點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=-x2-x+4;(2P點坐標(-,5)或(-,5)或(,-5)或(,-5);

3)存在以A、C、M、N為頂點的矩形,點N的坐標為:(2)或(-4,)或(-22-)或(-2,2+).

【解析】

1)把點A的坐標為(-3,0),點B的坐標為(1,0)代入y=ax2-x+c求解即可;

2)設(shè)Pm-m2-m+4),作PHx軸于H,由平行可得△QCO∽△QPH,由相似三角形對應(yīng)線段成比例可得m值,代入求點P坐標即可;

3)設(shè)點M的坐標為(-1,m),可求得AM、AC、CM長,分AC為邊或AC為對角線兩種情況由勾股定理可得m值,易知點M坐標,由全等三角形的性質(zhì)確定N點坐標即可.

解:(1)把點A的坐標為(-30),點B的坐標為(10)代入y=ax2-x+c,

解得:,

∴該拋物線的解析式為y=-x2-x+4

2)∵點P為拋物線上一點,

∴設(shè)Pm,-m2-m+4),作PHx軸于H

PHOC,

∴△QCO∽△QPH

==,

,

解得:m1=-,m2=-m3=,m4=

P點坐標(-,5)或(-,5)或(,-5)或(,-5);

3)∵拋物線y=-x2-x+4的對稱軸為x=-1,

設(shè)點M的坐標為(-1,m),

∵點A的坐標為(-30),點C的坐標為(0,4),

AM==AC==5,CM==,

AC為邊或AC為對角線兩種情況考慮:

①當AC為邊時,有AC2+AM2=CM2AC2+CM2=AM2,即25+m2+4=m2-8m+1725+m2-8m+17=m2+4

解得:m1=-m2=,

∴點M的坐標為(-1-)或(-1,);

如圖2,分別過MNy軸或x軸的垂線,

由全等三角形的性質(zhì)得,N點的坐標為:(2,)或(-4);

②當AC為對角線時,有AM2+CM2=AC2,即m2+4+m2-8m+17=25,

解得:m3=2+m4=2-,

∴點M的坐標為(-1,2+)或(-12-).

如圖3,分別過MNy軸或x軸的垂線,

由全等三角形的性質(zhì)得,N點的坐標為(-22-)或(-2,2+

綜上所述:存在以A、CM、N為頂點的矩形,點N的坐標為:(2,)或(-4)或(-2,2-)或(-2,2+).

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