【題目】已知:拋物線 y=ax2+bx+1 經(jīng)過 A(1,0)、B(-1,3)兩點.
(1)求 a,b 的值;
(2)以線段 AB 為邊作正方形 ABB′A′,能否將已知拋物線平移,使其經(jīng)過 A′、B′兩點?若能,求出平移后經(jīng)過 A′、B′兩點的拋物線的解析式;若不能,請說明理由.
【答案】(1),;(2)能,拋物線解析式為:或.
【解析】
(1)根據(jù)題意將A、B兩點坐標代入解析式進一步求解即可;
(2)如圖,根據(jù)題意,首先畫出合適的圖形,得出正方形ABB′A′以及ABB′′A′′,然后根據(jù)兩種圖形分兩種情況進一步分析討論即可.
(1)∵拋物線 y=ax2+bx+1 經(jīng)過 A(1,0)、B(-1,3)兩點,
故有:,,
∴,;
(2)
連接A′B,AB′交于點E,過點B作BF⊥x軸于點F,過點A′作A′G⊥x軸于點G,
∵四邊形ABB′A′為正方形,
∴∠BA A′=90°,AB= A′A,BE= A′E= B′E=AE,
∵∠BA A′=90°,
∴∠BAF+∠A′AG=90°,
∵∠ABF+∠BAF=90°,
∴∠A′AG=∠ABF,
在△BAF與△A′AG中,
∵∠BFA=∠AG A′,∠ABF=∠A′AG,AB= A′A,
∴△BAF≌△A′AG,
∴A′G=AF,AG=BF,
∵AF=2,BF=3,
∴點A′的橫坐標=OG=OA+AG=4,
點A′的縱坐標= A′G=2,
即點A′的坐標為(4,2),
∵點A′的坐標為(4,2),點B的坐標為(,3),E是A′B的中點,
∴點E的坐標為:(,),
∵E是A B′的中點,點A的坐標為(1,0),
∴點B′的橫坐標=,點B′的縱坐標=,
即點B′的坐標為(2,5),
過A、B兩點的拋物線的解析式為:,
化為頂點式為:,
設(shè)平移后的解析式為:,
假設(shè)其經(jīng)過點A′、B′,
則:,
,
∴,,
故存在經(jīng)過A′、B′兩點的拋物線,其解析式為:,
當正方形為ABB′′A′′時,同理可得點A′′的坐標為(,),點B′′的坐標為(,1),
此時經(jīng)過A′′、B′′兩點的拋物線的解析式為:.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商店購進一批進價為20元/件的日用商品,第一個月,按進價提高50%的價格出售,售出400件;第二個月,商店準備在不低于原售價的基礎(chǔ)上進行加價銷售,根據(jù)銷售經(jīng)驗,提高銷售單價會導致銷售量的減少.銷售量y(件)與銷售單價x(元)的關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)表達式;
(2)第二個月的銷售單價定為多少元時,可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《中國詩詞大會》以“賞中華詩詞,尋文化基因、品生活之美”為基本宗旨,力求通過對詩詞知識的比拼及賞析,帶動全民重溫那些曾經(jīng)學過的古詩詞,分享詩詞之美,感受詩詞之趣,從古人的智慧和情懷中汲取營養(yǎng),涵養(yǎng)心靈,自開播以來深受廣大師生的喜愛,某中學為了解學校學生的詩詞水平,從八、九年級各隨機抽取了20名學生進行了測試,并將八、九年級測試成績(百分制,單位:分)整理如下:收集數(shù)據(jù):
八:93 92 84 55 85 82 66 74 88 67 87 87 67 61 87 61 78 57 72 75
九:68 66 79 92 86 87 61 86 90 83 90 78 70 67 53 79 86 71 61 89
整理數(shù)據(jù):
測試成績x(分) 年級 | 50≤x<60 | 60≤x<70 | 70≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x≤100 |
八 | 2 | a | 4 | b | c |
九 | 1 | 5 | 5 | 6 | 3 |
說明:測試成績x(分),其中x≥80為優(yōu)秀,70≤x<80為良好,60≤x<70為合格,0≤x<60為不合格)
分析數(shù)據(jù):
年級 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
八 | 75.9 | 76.5 | d |
九 | 77.1 | 79 | 86 |
根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)請直接寫出表格中a,b,c,d的值;
(2)在此次測試中,有位同學的成績是78分,在他所在的年級屬于中等偏上,則這位同學屬于哪個年級?請你說明理由;
(3)若九年級有800名學生,估計九年級詩詞水平達到優(yōu)秀的學生有多少名?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根;
(2)寫出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,D、E、F 分別為邊 AB、AC、BC 上的點,連接 DE、EF.若 DE∥BC,EF∥AB,則圖中共有________對相似三角形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某校九年級男生的體能情況,體育老師從中隨機抽取部分男生進行引體向上測試,并對成績進行了統(tǒng)計,繪制成尚不完整的扇形圖和條形圖,根據(jù)圖形信息回答下列問題:
(1)本次抽測的男生有________人,抽測成績的眾數(shù)是_________;
(2)請將條形圖補充完整;
(3)若規(guī)定引體向上6次以上(含6次)為體能達標,則該校125名九年級男生中估計有多少人體能達標?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表:
x | … | -3 | -2 | 0 | 3 | 5 | … |
y | … | 7 | 0 | -8 | -5 | 7 | … |
則以下四個結(jié)論:①圖象的開口向上;②函數(shù)的最小值為-8;③方程的兩根分別-2,4;④若y<-5,則-1<x<3.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2-x+c交x軸于點A和點B(點A在原點的左側(cè),點B在原點的右側(cè)),點A的坐標為(-3,0),點B的坐標為(1,0),交y軸于點C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)已知點P為拋物線上一點,直線PC與x軸交于點Q,使得PQ=CQ,求P點坐標;
(3)若點M是拋物線對稱軸上一點,點N是平面內(nèi)一點,是否存在以A,C,M,N為頂點的矩形?若存在,請直接寫出N點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人沿同一路線登山,圖中線段OC、折線OAB分別是甲、乙兩人登山的路程y(米)與登山時間x(分)之間的函數(shù)圖象.請根據(jù)圖象所提供的信息,解答如下問題:
(1)求甲登山的路程與登山時間之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)求乙出發(fā)后多長時間追上甲?此時乙所走的路程是多少米?
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