Question

5．（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．如果作輔助線DE⊥AB于點(diǎn)E，則可以得到AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為AB=AC+CD；
（2）如圖，△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，試說明理由；若成立，請(qǐng)證明．

Answer 1

分析 （1）首先得出△CAD≌△EAD（AAS），進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)以及結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案；
（2）首先在AB上截取AE=AC，進(jìn)而得出△ACD≌△AED（SAS），則CD=ED，∠C=∠AED，進(jìn)而得出AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△CAD和△EAD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠AED}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAD（AAS），
∴CD=DE，AC=AE，
∵∠B=45°，∠DEB=90°，
∴DE=EB，
∴DC=BE，
∴AE+BE=AC+DC=AB；
故答案為：AB=AC+CD．

（2）成立．
證明：如圖2，在AB上截取AE=AC，連接DE．
∵在△ACD和△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠BAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=ED，∠C=∠AED，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴2∠B=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴ED=EB
∵AB=AE+EB，ED=EB=CD，AE=AC，
∴AB=AC+CD．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．