Question

13．如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N．求證：OH⊥MN．

Answer 1

分析 由AD、BE、CF分別是△ABC的高，可得A、C、D、F四點(diǎn)共圓，AC為直徑，進(jìn)而由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到∠BDF=∠BAC，由O為△ABC外心，可得∠OBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOC）=90°-∠BAC=90°-∠FDB，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 證明：∵A、C、D、F四點(diǎn)共圓，
∴∠BDF=∠BAC
又∵∠OBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOC）=90°-∠BAC，
∴OB⊥DF．
∵CF⊥MA，
∴MC²-MH²=AC²-AH²（①）
∵BE⊥NA，
∴NB²-NH²=AB²-AH² （②）
∵DA⊥BC，
∴BD²-CD²=BA²-AC² （③）
∵OB⊥DF，
∴BN²-BD²=ON²-OD² （④）
∵OC⊥DE，
∴CM²-CD²=OM²-OD²，
  ①-②+③+④-⑤，得NH²-MH²=ON²-OM²  MO²-MH²=NO²-NH²
∴OH⊥MN．

點(diǎn)評(píng) 主要考查了圓周角定理和三角形的外角和內(nèi)角關(guān)系，其中分析出A、C、D、F四點(diǎn)共圓，是解答的關(guān)鍵．