Question

如圖，在正方形ABCD的外部作等邊△DCE，AE交CD于F，則

AF

FE

的值為

 

，

CF

FD

的值為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：作EH⊥DC于H，設(shè)等邊△DCE的邊長為a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CH=DH=

1

2

a，DC=DE=a，∠CDE=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到EH=

3

DH=

3

2

，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=DC=a，∠ADC=90°，則AD∥EH，根據(jù)相似三角形的判定得到△ADF∽△EHF，根據(jù)下似比可解出

AF

EF

=

DF

FH

=

2 3

3

，
則FH=

3

2

DF，利用DF+CF=

1

2

a，解得DF=（2-

3

）a，然后計算CF=CD-CF=a-（2-

3

）a=（

3

-1）a，再計算

CF

FD

的值．

解答：解：作EH⊥DC于H，設(shè)等邊△DCE的邊長為a，如圖，
∵△DCE為等邊三角形，
∴CH=DH=

1

2

a，DC=DE=a，∠CDE=60°，
∴EH=

3

DH=

3

2

，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=a，∠ADC=90°，
∴AD∥EH，
∴△ADF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

DF

FH

AD

EH

，即

AF

EF

=

DF

FH

=

a

3 a 2

=

2 3

3

，
∴FH=

3

2

DF，
∵DF+

3

2

DF=

1

2

a，解得DF=（2-

3

）a，
∴CF=CD-CF=a-（2-

3

）a=（

3

-1）a，
∴

CF

FD

=

( 3 -1)a

(2- 3 )a

=2

3

+1．
故答案為

2 3

3

；2

3

+1．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比等于相等，都等于相似比．也考查了正方形和等邊三角形的性質(zhì)．