Question

15．已知二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+m的圖象C₁與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）將C₁向下平移若干個(gè)單位后得拋物線，若C₂與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），求C₂的函數(shù)關(guān)系式，并求C₂與x軸另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）①若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的兩點(diǎn)，且y₁＞y₂，求實(shí)數(shù)n的取值范圍；
②若C₂與y軸的交點(diǎn)為D，請(qǐng)直接寫出∠ADB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，即△=0，即可求出m的值；
（2）設(shè)C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}$+k，把A（-1，0）代入，即可求出C₂的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)對(duì)稱性，即可求出B的坐標(biāo)；
（3）①根據(jù)當(dāng)x≥$\frac{3}{2}$時(shí)，y隨x的增大而增大，和當(dāng)n＜$\frac{3}{2}$時(shí)，y隨x的增大而減小，分情況討論；
②畫出圖象，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等，證明△AOD≌△DOB，得∠ODB=∠OAD，即可求得∠ADB的度數(shù)．

解答 解：（1）∵圖象C₁與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴$△=（-\frac{3}{2}）^{2}-4×\frac{1}{2}m=0$，解得：m=$\frac{9}{8}$；
（2）由C₁：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{8}$=$\frac{1}{2}（{x}^{2}-3x+\frac{9}{4}）$=$\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}$，
∴設(shè)C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}$+k，
把A（-1，0）代入，得：$\frac{1}{2}（-1-\frac{3}{2}）^{2}+k=0$，解得：k=$-\frac{25}{8}$，
∴C₂的函數(shù)關(guān)系式為：$y=\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{25}{8}$，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{2}$與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），
∴由對(duì)稱性可知，它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0）；
（3）①當(dāng)x≥$\frac{3}{2}$時(shí)，y隨x的增大而增大，
當(dāng)n≥$\frac{3}{2}$時(shí)，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2，
當(dāng)n＜$\frac{3}{2}$時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵x=1和x=2的函數(shù)值相等，
∴當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，n＜1，
綜上所述，n＜1或n＞2；
②∠ADB=90°，
如圖，
∵C₂與y軸的交點(diǎn)為D，
∴當(dāng)x=0時(shí)，$y=\frac{1}{2}×\frac{9}{4}-\frac{25}{8}=-2$，
∴點(diǎn)D（0，-2），
在△AOD和△DOB中，
$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，$\frac{OD}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OD}{OB}$，
∵∠AOD=∠DOB，
∴△AOD≌△DOB，
∴∠ODB=∠OAD，
∴∠ODB+∠ODA=∠OAD+∠ODA=90°，
即∠ADB=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，第（3）小題第②題，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，利用相似求得角相等，根據(jù)角等量代換求出角的度數(shù)．