Question

已知四邊形ABCD中，AD=a，CD=b，AB=AC=BC=c，求BD的最大值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短,等邊三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：將線段BD繞著點B沿著順時針旋轉(zhuǎn)60°到BE的位置，連接CE、DE，從而得到△BDE是等邊三角形，則有DE=BD．易證△ABD≌△CBE，則有BD=BE，AD=CE．根據(jù)兩點之間線段最短可得DE≤a+b，就可得到DE即BD的最大值．

解答：解：將線段BD繞著點B沿著順時針旋轉(zhuǎn)60°到BE的位置，連接CE、DE，如圖所示．
則有BE=BD，∠EBD=60°．
∴△BDE是等邊三角形．
∴DE=BD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°．
∴∠EBD=∠ABC=60°．
∴∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中，

BA=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

．
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
∴BD=BE，AD=CE．
∵AD=CE=a，CD=b，
∴根據(jù)兩點之間線段最短可得：DE≤CE+CD=a+b．
∴DE的最大值為a+b．
∴BD的最大值為a+b．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，而通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．