Question

如圖，在ABC中，AB=BC，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，
①求證：ED是⊙O的切線；
②求證：DE²=BF•AE；
③若DF=3

5

，cosA=

2

3

，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由BC為⊙O的直徑得到∠BDC=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=CD，即D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，則可判斷OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AB，而DE⊥AB，則DE⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到DE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD平分∠ABC，則利用角平分線性質(zhì)得DE=DF，再證明Rt△AED∽R(shí)t△DFB，根據(jù)相似的性質(zhì)得DE：BF=AE：DF，用DE代換DF根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到DE²=BF•AE；
（3）由于∠A=∠C，則cosA=cosC=

2

3

，在Rt△CDF中，利用余弦的定義得cosC=

CF

DC

=

2

3

，設(shè)CF=2x，則DC=3x，根據(jù)勾股定理計(jì)算得DF=

5

x，所以

5

x=3

5

，解得x=3，于是得到DC=9，在Rt△CBD中根據(jù)余弦的定義可計(jì)算出BC．

解答：（1）證明：∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴AD=CD，即D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AB，
而DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）證明：∵BA=BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵∠ADE+∠BDE=90°，∠BDE+∠BDO=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
而OB=OD，
∴∠BDO=∠OBD，
∴∠ADE=∠OBD，
∴Rt△AED∽R(shí)t△DFB，
∴DE：BF=AE：DF，
∴DE：BF=AE：DE，
∴DE²=BF•AE；
（3）解：∵∠A=∠C，
∴cosA=cosC=

2

3

，
在Rt△CDF中，cosC=

CF

DC

=

2

3

，
設(shè)CF=2x，則DC=3x，
∴DF=

DC2-CF2

=

5

x，
而DF=3

5

，
∴

5

x=3

5

，解得x=3，
∴DC=9，
在Rt△CBD中，cosC=

DC

BC

=

2

3

，
∴BC=

3

2

×9=

27

2

，
即⊙O的直徑為

27

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義．