Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，分別過(guò)OB，OC的中點(diǎn)D，E作AE，AD的平行線，相交于點(diǎn)F， 已知OB=8．

（1）求證：四邊形AEFD為菱形．

（2）求四邊形AEFD的面積．

（3）若點(diǎn)P在x軸正半軸上(異于點(diǎn)D)，點(diǎn)Q在y軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A，P， Q，G為頂點(diǎn)的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）48；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)

【解析】

（1）結(jié)合正方形性質(zhì)求得△ACE≌△ABD，從而得到AE=AD，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．
（2）連接DE，求出△ADE的面積即可解決問(wèn)題．
（3）首先證明AK=3DK，①當(dāng)AP為菱形的一邊，點(diǎn)Q在x軸的上方，有圖2，圖3兩種情形．②當(dāng)AP為菱形的邊，點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，有圖4，圖5兩種情形．③如圖6中，當(dāng)AP為菱形的對(duì)角線時(shí)，有圖6一種情形．分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

（1）∵DF∥AE，EF∥AD，

∴四邊形AEFD是平行四邊形.

∵四邊形ABOC是正方形，

∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.

∵點(diǎn)D，E是OB，OC的中點(diǎn)，

∴CE＝BD，

∴△ACE≌△ABD(SAS)，

∴AE＝AD，

∴是菱形

（2）如圖1，連結(jié)DE

∵S△ABD＝AB·BD＝， S△ODE＝OD·OE＝，

∴S△AED＝S正方形ABOC－2 S△ABD－ S△ODE＝64－2－8＝24，

∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48

（3）由圖1，連結(jié)AF與DE相交于點(diǎn)K，易得△ADK的兩直角邊之比為1:3

1）當(dāng)AP為菱形一邊時(shí)，點(diǎn)Q在x軸上方，有圖2、圖3兩種情況：

如圖2，AG與PQ交于點(diǎn)H，

∵菱形PAQG∽菱形ADFE，

∴△APH的兩直角邊之比為1:3

過(guò)點(diǎn)H作HN⊥x軸于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，設(shè)AM=t

∵HN∥OQ，點(diǎn)H是PQ的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)N是OP中點(diǎn)，

∴HN是△OPQ的中位線，

∴ON＝PN＝8－t

又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°，

∴△HMA∽△PNH，

∴＝＝ ，

∴HN＝3AM＝3t，

∴MH＝MN－NH＝8－3t.

∵PN＝3MH，

∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2

∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，0)

如圖3，△APH的兩直角邊之比為1:3

過(guò)點(diǎn)H作HI⊥y軸于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸交IH于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BA交IN于點(diǎn)M

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH，

∴△AMH∽△HNP，

∴＝＝，設(shè)MH＝t，

∴PN＝3MH＝3t，

∴AM＝BM－AB＝3t－8，

∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24

又∵HI是△OPQ的中位線，

∴OP＝2IH，

∴HI＝HN，

∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4

∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(24，0)

2）當(dāng)AP為菱形一邊時(shí)，點(diǎn)Q在x軸下方，有圖4、圖5兩種情況：

如圖4，△PQH的兩直角邊之比為1:3

過(guò)點(diǎn)H作HM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥HM于點(diǎn)N

∵MH是△QAC的中位線，

∴HM＝＝4

又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N，

∴△HPN∽△QHM，

∴＝＝，則PN＝＝，

∴OM＝

設(shè)HN＝t，則MQ＝3t

∵MQ＝MC，

∴3t＝8－，解得t＝

∴OP＝MN＝4＋t＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)

如圖5，△PQH的兩直角邊之比為1:3

過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)Q作NQ⊥HM于點(diǎn)N

∵IH是△ACQ的中位線，

∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH，

∴△PMH∽△HNQ，

∴＝＝＝，則MH＝NQ＝

設(shè)PM＝t，則HN＝3t，

∵HN＝HI，

∴3t＝8+，解得 t＝

∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)

3）當(dāng)AP為菱形對(duì)角線時(shí)，有圖6一種情況：

如圖6，△PQH的兩直角邊之比為1:3

過(guò)點(diǎn)H作HM⊥y軸于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥HM于點(diǎn)N

∵HI∥x軸，點(diǎn)H為AP的中點(diǎn)，

∴AI＝IB＝4，

∴PN＝4

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°，

∴△PNH∽△HMQ，

∴＝＝＝，則MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4

∵HI是△ABP的中位線，

∴BP＝2HI＝8，即OP＝16，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(16，0)

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)．