【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標軸的正半軸上,分別過OB,OC的中點D,E作AE,AD的平行線,相交于點F, 已知OB=8.
(1)求證:四邊形AEFD為菱形.
(2)求四邊形AEFD的面積.
(3)若點P在x軸正半軸上(異于點D),點Q在y軸上,平面內(nèi)是否存在點G,使得以點A,P, Q,G為頂點的四邊形與四邊形AEFD相似?若存在,求點P的坐標;若不存在,試說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)48;(3)點P的坐標為(12,0),(24,0),(,0),(,0),(16,0)
【解析】
(1)結(jié)合正方形性質(zhì)求得△ACE≌△ABD,從而得到AE=AD,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.
(2)連接DE,求出△ADE的面積即可解決問題.
(3)首先證明AK=3DK,①當AP為菱形的一邊,點Q在x軸的上方,有圖2,圖3兩種情形.②當AP為菱形的邊,點Q在x軸的下方時,有圖4,圖5兩種情形.③如圖6中,當AP為菱形的對角線時,有圖6一種情形.分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.
(1)∵DF∥AE,EF∥AD,
∴四邊形AEFD是平行四邊形.
∵四邊形ABOC是正方形,
∴OB=OC=AB=AC,∠ACE=∠ABD=90°.
∵點D,E是OB,OC的中點,
∴CE=BD,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴AE=AD,
∴是菱形
(2)如圖1,連結(jié)DE
∵S△ABD=AB·BD=, S△ODE=OD·OE=,
∴S△AED=S正方形ABOC-2 S△ABD- S△ODE=64-2-8=24,
∴S菱形AEFD=2S△AED=48
(3)由圖1,連結(jié)AF與DE相交于點K,易得△ADK的兩直角邊之比為1:3
1)當AP為菱形一邊時,點Q在x軸上方,有圖2、圖3兩種情況:
如圖2,AG與PQ交于點H,
∵菱形PAQG∽菱形ADFE,
∴△APH的兩直角邊之比為1:3
過點H作HN⊥x軸于點N,交AC于點M,設(shè)AM=t
∵HN∥OQ,點H是PQ的中點,
∴點N是OP中點,
∴HN是△OPQ的中位線,
∴ON=PN=8-t
又∵∠1=∠3=90°-∠2,∠PNH=∠AMH=90°,
∴△HMA∽△PNH,
∴== ,
∴HN=3AM=3t,
∴MH=MN-NH=8-3t.
∵PN=3MH,
∴8-t =3(8-3t),解得t=2
∴OP=2ON=2(8-t)=12
∴點P的坐標為(12,0)
如圖3,△APH的兩直角邊之比為1:3
過點H作HI⊥y軸于點I,過點P作PN⊥x軸交IH于點N,延長BA交IN于點M
∵∠1=∠3=90°-∠2,∠AMH=∠PNH,
∴△AMH∽△HNP,
∴==,設(shè)MH=t,
∴PN=3MH=3t,
∴AM=BM-AB=3t-8,
∴HN=3AM=3(3t-8) =9t-24
又∵HI是△OPQ的中位線,
∴OP=2IH,
∴HI=HN,
∴8+t=9t-24,解得 t=4
∴OP=2HI=2(8+t)=24,
∴點P的坐標為(24,0)
2)當AP為菱形一邊時,點Q在x軸下方,有圖4、圖5兩種情況:
如圖4,△PQH的兩直角邊之比為1:3
過點H作HM⊥y軸于點M,過點P作PN⊥HM于點N
∵MH是△QAC的中位線,
∴HM==4
又∵∠1=∠3=90°-∠2,∠HMQ=∠N,
∴△HPN∽△QHM,
∴==,則PN==,
∴OM=
設(shè)HN=t,則MQ=3t
∵MQ=MC,
∴3t=8-,解得t=
∴OP=MN=4+t=,
∴點P的坐標為(,0)
如圖5,△PQH的兩直角邊之比為1:3
過點H作HM⊥x軸于點M,交AC于點I,過點Q作NQ⊥HM于點N
∵IH是△ACQ的中位線,
∴CQ=2HI,NQ=CI=4
∵∠1=∠3=90°-∠2,∠PMH=∠QNH,
∴△PMH∽△HNQ,
∴===,則MH=NQ=
設(shè)PM=t,則HN=3t,
∵HN=HI,
∴3t=8+,解得 t=
∴OP=OM-PM=QN-PM=4-t=,
∴點P的坐標為(,0)
3)當AP為菱形對角線時,有圖6一種情況:
如圖6,△PQH的兩直角邊之比為1:3
過點H作HM⊥y軸于點M,交AB于點I,過點P作PN⊥HM于點N
∵HI∥x軸,點H為AP的中點,
∴AI=IB=4,
∴PN=4
∵∠1=∠3=90°-∠2,∠PNH=∠QMH=90°,
∴△PNH∽△HMQ,
∴===,則MH=3PN=12,HI=MH-MI=4
∵HI是△ABP的中位線,
∴BP=2HI=8,即OP=16,
∴點P的坐標為(16,0)
綜上所述,點P的坐標為(12,0),(24,0),(,0),(,0),(16,0).
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【題目】如圖,△ABC中,,于點D,于點E,交AD于點F,點M是BC的中點,連接FM并延長交AB的垂線BH于點H.下列說法中錯誤的是( )
A.若,則
B.若,則
C.若(點M與點D重合),則
D.若(點B與點D重合),則
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【題目】如圖,某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶開發(fā)一個三角形狀的養(yǎng)殖區(qū)域,A、B、C三點的位置如圖所示.已知∠CAB=105°,∠B=45°,AB=100米.(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,結(jié)果保留整數(shù))
(1)求養(yǎng)殖區(qū)域△ABC的面積;
(2)養(yǎng)殖戶計劃在邊BC上選一點D,修建垂釣棧道AD,測得∠CAD=40°,求垂釣棧道AD的長.
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【題目】某超市以3元/本的價格購進某種筆記本若干,然后以5元/本的價格出售,每天售出20本.通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種筆記本的售價每降低0.1元,每天可多售出4本,為保證每天至少售出50本,該超市決定降價銷售.
(1)若每本降價元,則每天的銷售量是________本(用含的代數(shù)式表示).
(2)要想每天贏利60元,該超市需將每本的售價降低多少元?
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【題目】圖1是一個閉合時的夾子,圖2是該夾子的主視示意圖,夾子兩邊為AC,BD(點A與點B重合),點O是夾子轉(zhuǎn)軸位置,OE⊥AC于點E,OF⊥BD于點F,OE=OF=1cm,AC=BD=6cm, CE=DF, CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子,夾子兩邊繞點O轉(zhuǎn)動.
(1)當E,F兩點的距離最大值時,以點A,B,C,D為頂點的四邊形的周長是_____ cm.
(2)當夾子的開口最大(點C與點D重合)時,A,B兩點的距離為_____cm.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知二次函數(shù)圖象的頂點為A,與y軸交于點B,異于頂點A的點C(1,n)在該函數(shù)圖象上.
(1)當m=5時,求n的值.
(2)當n=2時,若點A在第一象限內(nèi),結(jié)合圖象,求當y時,自變量x的取值范圍.
(3)作直線AC與y軸相交于點D.當點B在x軸上方,且在線段OD上時,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標軸的正半軸上,分別過OB,OC的中點D,E作AE,AD的平行線,相交于點F, 已知OB=8.
(1)求證:四邊形AEFD為菱形.
(2)求四邊形AEFD的面積.
(3)若點P在x軸正半軸上(異于點D),點Q在y軸上,平面內(nèi)是否存在點G,使得以點A,P, Q,G為頂點的四邊形與四邊形AEFD相似?若存在,求點P的坐標;若不存在,試說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD,AB=6,點E在邊CD上,CE=2DE,將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF,下列結(jié)論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③EG=DE+BG;④AG∥CF;⑤S△FCA=3.6,其中正確結(jié)論是_____.
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