【題目】問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.
【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結(jié)論.
【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足 關(guān)系時,仍有EF=BE+FD.
【探究應(yīng)用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)
【答案】【發(fā)現(xiàn)證明】證明見解析;【類比引申】∠BAD=2∠EAF;【探究應(yīng)用】109.2米.
【解析】【發(fā)現(xiàn)證明】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE,則GF=BE+DF,只要再證明△AFG≌△AFE即可.
【類比引申】延長CB至M,使BM=DF,連接AM,證△ADF≌△ABM,證△FAE≌△MAE,即可得出答案;
【探究應(yīng)用】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到△ABE是等邊三角形,則BE=AB=80米.把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE,則GF=BE+DF,只要再證明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD.
解:如圖(1),
∵△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中,
AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴BE+DF=EF.
【類比引申】∠BAD=2∠EAF.
理由如下:如圖(2),延長CB至M,使BM=DF,連接AM,
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,
∴∠D=∠ABM,
在△ABM和△ADF中,
AB=AD,∠ABM=∠D,BM=DF,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,
在△FAE和△MAE中,
AE=AE,∠FAE=∠MAE,AF=AM,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,
即EF=BE+DF.
故答案是:∠BAD=2∠EAF.
【探究應(yīng)用】如圖3,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG,連接AF.
∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,
∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°,
∴△ABE是等邊三角形,
∴BE=AB=80米.
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到:∠ADG=∠B=60°,
又∵∠ADF=120°,
∴∠GDF=180°,即點G在CD的延長線上.
易得,△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAG=∠BAD=150°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中,
AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴EF=BE+DF=80+40(﹣1)≈109.2(米),即這條道路EF的長約為109.2米.
“點睛”此題主要考查了四邊形綜合題,關(guān)鍵是正確畫出圖形,證明△AFG≌△AEF.此題是一道綜合題,難度較大,題目所給例題的思路,為解決此題做了較好的鋪墊.
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