Question

如圖，△ABC，△CEF均為等腰直角三角形，∠ABC=∠CEF=90°，C、B、E在同一直線上，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．延長(zhǎng)BM交EF于點(diǎn)D．
求證：MB=MD=ME．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：首先通過(guò)全等三角形的判定定理ASA證得△ABM≌△FDM，則該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等BM=MD，AB=DF．則易推知△BDE是等腰直角三角形，M為BD中點(diǎn)，故△BEM是等腰直角三角形，所以BM=EM，即MB=MD=ME．

解答：證明：∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM=MF，
在△ABM和△FDM中，

∠BAM=∠DFM AM=FM ∠AMB=∠FMD

，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴BM=MD，AB=DF．
∵BE=CE-BC，DE=EF-DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，M為BD中點(diǎn)，故△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=EM，
即MB=MD=ME．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊、公共角以及對(duì)頂角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．