【題目】已知:如圖,在RtABO中,∠B=90°,∠OAB=30°,OA=3.以點(diǎn)O為原點(diǎn),斜邊OA所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,以點(diǎn)P4,0)為圓心,PA長為半徑畫圓,⊙Px軸的另一交點(diǎn)為N,點(diǎn)M在⊙P上,且滿足∠MPN=60°.⊙P以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向左運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為ts,解答下列問題:

(發(fā)現(xiàn))(1的長度為多少;

2)當(dāng)t=2s時(shí),求扇形MPN(陰影部分)與RtABO重疊部分的面積.

(探究)當(dāng)⊙P和△ABO的邊所在的直線相切時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(拓展)當(dāng)RtABO的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),請你直接寫出t的取值范圍.

【答案】【發(fā)現(xiàn)】(1的長度為;(2)重疊部分的面積為;【探究】:點(diǎn)P的坐標(biāo)為;或;【拓展】t的取值范圍是,理由見解析.

【解析】

發(fā)現(xiàn):(1)先確定出扇形半徑,進(jìn)而用弧長公式即可得出結(jié)論;

2)先求出PA=1,進(jìn)而求出PQ,即可用面積公式得出結(jié)論;

探究:分圓和直線AB和直線OB相切,利用三角函數(shù)即可得出結(jié)論;

拓展:先找出和直角三角形的兩邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的分界點(diǎn),即可得出結(jié)論.

[發(fā)現(xiàn)]

1)∵P4,0),∴OP=4

OA=3,∴AP=1,∴的長度為

故答案為:;

2)設(shè)⊙P半徑為r,則有r=43=1,當(dāng)t=2時(shí),如圖1,點(diǎn)N與點(diǎn)A重合,∴PA=r=1,設(shè)MPAB相交于點(diǎn)Q.在RtABO中,∵∠OAB=30°,∠MPN=60°.

∵∠PQA=90°,∴PQPA,∴AQ=AP×cos30°,∴S重疊部分=SAPQPQ×AQ

即重疊部分的面積為

[探究]

①如圖2,當(dāng)⊙P與直線AB相切于點(diǎn)C時(shí),連接PC,則有PCABPC=r=1

∵∠OAB=30°,∴AP=2,∴OP=OAAP=32=1;

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0);

②如圖3,當(dāng)⊙P與直線OB相切于點(diǎn)D時(shí),連接PD,則有PDOB,PD=r=1,∴PDAB,∴∠OPD=OAB=30°,∴cosOPD,∴OP,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0);

③如圖4,當(dāng)⊙P與直線OB相切于點(diǎn)E時(shí),連接PE,則有PEOB,同②可得:OP;

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0);

[拓展]

t的取值范圍是2t3,4t5,理由:

如圖5,當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到與點(diǎn)A重合時(shí),RtABO的邊有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)t=2;

當(dāng)t2,直到⊙P運(yùn)動到與AB相切時(shí),由探究①得:OP=1,∴t3RtABO的邊有兩個(gè)公共點(diǎn),∴2t3

如圖6,當(dāng)⊙P運(yùn)動到PMOB重合時(shí),RtABO的邊有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)t=4;

直到⊙P運(yùn)動到點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí),RtABO的邊有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)t=5;

4t5,即:t的取值范圍是2t3,4t5

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦BCOB,點(diǎn)D上一動點(diǎn),點(diǎn)ECD中點(diǎn),連接BD分別交OC,OE于點(diǎn)F,G

(1)求∠DGE的度數(shù);

(2),求的值;

(3)記△CFB,△DGO的面積分別為S1,S2,若k,求的值.(用含k的式子表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩人同時(shí)登山,甲乙兩人距地面的高度y(米)與登山時(shí)間x(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題:

(1)甲登山的速度是   米/分鐘,乙在A地提速時(shí)距地面的高度b為   米.

(2)若乙提速后,乙的速度是甲登山速度的3倍,請求出乙提速后y和x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)登山多長時(shí)間時(shí),乙追上了甲,此時(shí)乙距A地的高度為多少米?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2,BC邊在x軸上,BC的中點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,過定點(diǎn)M(-2,0)與動點(diǎn)P(0,t)的直線MP記作l.

(1)l的解析式為y=2x+4,判斷此時(shí)點(diǎn)A是否在直線l上,并說明理由;

(2)當(dāng)直線lAD邊有公共點(diǎn)時(shí),求t的取值范圍.

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【題目】為了弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的偉大成就,某校九年級進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識競賽,并設(shè)立了以我國古代數(shù)學(xué)家名字命名的四個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng):祖沖之獎(jiǎng)劉徽獎(jiǎng)、趙爽獎(jiǎng)楊輝獎(jiǎng),根據(jù)獲獎(jiǎng)情況繪制成如圖1和圖2所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,并得到了獲祖沖之獎(jiǎng)的學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)表:

祖沖之獎(jiǎng)的學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)表:

分?jǐn)?shù)

80

85

90

95

人數(shù)

4

2

10

4

根據(jù)圖表中的信息,解答下列問題:

這次獲得劉徽獎(jiǎng)的人數(shù)是多少,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

獲得祖沖之獎(jiǎng)的學(xué)生成績的中位數(shù)是多少分,眾數(shù)是多少分;

在這次數(shù)學(xué)知識竟賽中有這樣一道題:一個(gè)不透明的盒子里有完全相同的三個(gè)小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字,“2”,隨機(jī)摸出一個(gè)小球,把小球上的數(shù)字記為x放回后再隨機(jī)摸出一個(gè)小球,把小球上的數(shù)字記為y,把x作為橫坐標(biāo),把y作為縱坐標(biāo),記作點(diǎn)用列表法或樹狀圖法求這個(gè)點(diǎn)在第二象限的概率.

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【題目】學(xué)而時(shí)習(xí)之,不亦樂乎!”,古人把經(jīng)常復(fù)習(xí)當(dāng)作是一種樂趣,能達(dá)到這種境界是非常不容易的.復(fù)習(xí)可以讓遺忘的知識得到補(bǔ)拾,零散的知識變得系統(tǒng),薄弱的知識有所強(qiáng)化,掌握的知識更加鞏固,生疏的技能得到訓(xùn)練.為了了解初一學(xué)生每周的復(fù)習(xí)情況,教務(wù)處對初一(1)班學(xué)生一周復(fù)習(xí)的時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,復(fù)習(xí)時(shí)間四舍五入后只有4種:1小時(shí),2小時(shí),3小時(shí),4小時(shí),一周復(fù)習(xí)2小時(shí)的女生人數(shù)占全班人數(shù)的16%,一周復(fù)習(xí)4小時(shí)的男女生人數(shù)相等.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(表):

分組(四舍五入后)

頻數(shù)(學(xué)生人數(shù))

1小時(shí)

2

2小時(shí)

a

3小時(shí)

4

4小時(shí)

b

初一(1)班女生的復(fù)習(xí)時(shí)間數(shù)據(jù)(單位:小時(shí))如下:0.9,1.3,1.7,1.8,1.9,2.2,2.2,2.2,2.32.4,3.23.2,3.23.3,3.83.9,3.9,4.1,4.2,4.3

女生一周復(fù)習(xí)時(shí)間頻數(shù)分布表

1)四舍五入前,女生一周復(fù)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為______小時(shí),中位數(shù)為______小時(shí);

2)統(tǒng)計(jì)圖表中a=______,c=______,初一(1)班男生人數(shù)為______人,根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖估算初一(1)班男生一周的平均復(fù)習(xí)時(shí)間為______小時(shí);

3)為了激勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成良好的復(fù)習(xí)習(xí)慣,教務(wù)處決定對一周復(fù)習(xí)時(shí)間四舍五入后達(dá)到3小時(shí)及以上的全年級學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),每人獎(jiǎng)勵(lì)1個(gè)筆記本,初一年級共有1000名學(xué)生,請問教務(wù)處應(yīng)該準(zhǔn)備大約多少個(gè)筆記本?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.

(1)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動,點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā),經(jīng)過幾秒,使PBQ的面積等于8cm2

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動,點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā),線段PQ能否將ABC分成面積相等的兩部分?若能,求出運(yùn)動時(shí)間;若不能說明理由.

(3)若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動,點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動,P,Q同時(shí)出發(fā),問幾秒后,PBQ的面積為1?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣1,且過點(diǎn)(,0).有下列結(jié)論:①abc>0;②25a﹣10b+4c=0;③a﹣2b+4c=0;④a﹣b≥m(am﹣b);⑤3b+2c>0;其中所有正確的結(jié)論是_____(填寫正確結(jié)論的序號).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】超速行駛是一種十分危險(xiǎn)的違法駕駛行為,在一條東西走向的筆直高速公路MN上,小型車限速為每小時(shí)100千米. 現(xiàn)有一輛小汽車行駛到A處時(shí),發(fā)現(xiàn)北偏東30°方向200米處有一超速監(jiān)測儀P. 10秒后,小汽車行駛至B處,測得監(jiān)測儀PB處的北偏西45°方向上. 請問:這輛車超速了嗎?通過計(jì)算說明理由.(參考數(shù)據(jù):

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